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24.1.2垂直于弦的直径1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).创设情景圆的对称性(一)1、圆是轴对称图形吗？2、如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？课堂探究●O由操作实验知：圆是轴对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。探究结论③AM=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.2、你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧?1、右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?●OABCDM└探究三AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.理由:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.题设结论｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧（1）过圆心（2）垂直于弦垂径定理推论推论平分弦(弦不是直径)的直径垂直弦,并且平分弦所的两条弧●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD经过圆心O,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.题设结论｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧（1）过圆心（2）垂直于弦OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CD•例1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).垂径定理的应用解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设ABABABAB在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.3（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.OABCRD377.23AB=37CD=7.23AB=AD=×37=18.52121OD=OC－DC=R-7.23OA2=AD2+OD2即：R2=18.52+(R－7.23)2在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以垂径定理和勾股定理求出其它两个量.EOABDC⑴d+h=r已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.若圆的半径为R，弦AB的长为a，垂径OE的长为d，拱高DE的长为h，你能得到什么结论？(2)r2=d2+2)2(a例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．垂径定理的应用2.已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB,OE⊥AC,D、E为垂足。求证：ADOE为正方形。OABCDE课堂练习证明：∵OD⊥AB,OE⊥AC∴CE=EAAD=DB∵AC=ABAC⊥AB∴AE=AD∴ADOE为正方形1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。.AEBO课堂练习课堂小结本节课我们主要学习了１、圆的对称性２、垂径定理与推论及应用直径平分弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧●OABCDM└如图∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.作业设计１、P89习题24.1第1、8小题２、证明垂径定理的推论