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一元二次方程的应用重、难点重点：熟练地应用一元二次方程解决实际问题.难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型.某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）。由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1+x)2=90%整理，得(1+x)2=2.25解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。例1为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元将为81元，求平均每次降价的百分率。分析：问题中涉及的等量关系是：原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价解:设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得100(1-x)2=81整理，得(1-x)2=0.81解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去）答：平均每次降价的百分率为10%。例2某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%，若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？分析：本问题中涉及的等量关系是：（售价-进价）×销售量=利润。解：根据等量关系得(x-21)(350-10x)=400整理，得x2-56x+775=0解得x1=25，x2=31又因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，所以x=31不合题意，应当舍去，故x=25，从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元。实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根实际问题的解分析数量关系设未知数检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？1.某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？解：设平均每年藏书增长的百分率为x5（1+x）²=7.2整理，得(1+x)²=1.44解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去)答：平均每年藏书增长的百分率为20%。2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？解：设应降价x元，则(44-x)(20+5x)=1600整理，得x²-40x+144=0解得x1=36,x2=4答：应降价36元或4元。合作探究如图2-2，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.解：若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系列出方程。(40-2x)(28-2x)=364原方程可以写成x2-34x+189=0.这里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，解得x1=27，x2=7．如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x1=27不合题意，应当舍去．答：截去的小正方形的边长为7cm．例3如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m²，求道路的宽.分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，解：设道路宽为xm，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系列出方程。(32-x)(20-x)=540整理，得x²-52x+100=0解得x1=2,x2=50x2=50＞32，不符合题意，舍去,故x=2.答：道路的宽为2米.例4如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？课堂练习列：方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:已知什么,求什么?2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,找出相等关系列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.归纳总结1．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求该市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．解：设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得：20(1－x)2＝9.8，解这个方程，得x1＝0.3，x2＝1.7，由于x2＝1.7不符合题意，故x＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于6cm2，依题意得：12(5－x)·2x＝6，解得：x1＝2，x2＝3.故2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6cm2；(2)设x秒后，PQ的长度等于5cm，依题意，得：(5－x)2＋(2x)2＝52，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2.故2秒后，PQ的长度等于5cm；(3)设x秒后，△PQB的面积等于8cm2，依题意，得：12(5－x)·2x＝8，化简得x2－5x＋8＝0，∵△＝(－5)2－4×8＝－7＜0，∴该方程实数无解．故△PQB的面积不能等于8cm2.