搜索
3.5圆周角一、回顾如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角.究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就是圆周角，而图（1）、（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角.二、认识圆周角如何判断一个角是不是圆周角？顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.练习:指出下图中的圆周角.思考：OAOBOCODOEOF（1）（2）（3）（4）（5）（6）×√×××√图23.1.9如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？三、探索半圆或直径所对的圆周角的度数∴△AOC、△BOC都是等腰三角形图23.1.9∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°2180因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°证明：因为OA＝OB＝OC，半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.图23.1.9反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径.结论：三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？图23.1.102、分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？图23.1.11为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况:（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部.定理的证明（1）圆心在∠BAC的一边上.AOBC由于OA=OC因此∠C=∠BAC而∠BOC=∠BAC+∠C所以∠BAC=∠BOC12OABC（2）圆心在∠BAC的内部.D作直径AD.由于∠BAD=∠BOD12∠DAC=∠DOC，12所以∠BAD+∠DAC=（∠BOD+∠DOC）12即∠BAC=∠BOC12OABC（3）圆心在∠BAC的外部.D作直径AD.由于∠DAB=∠DOB12∠DAC=∠DOC，12所以∠DAC-∠DAB=（∠DOC-∠DOB）12即∠BAC=∠BOC12结论：在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧也相等.图23.1.10∠ACB=；∠ADB=；∠=∠.如图：则有AOB21AOB21ACBADB例1如图，AB为⊙O的直径，∠A=80°，求∠ABC的度数.ABO解：∵AB为⊙O的直径∴∠C=90°，又∠A=80°∴∠B=10°图23.1.12例2.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC12∠AOC=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1、试找出图中所有相等的圆周角.（第1题）3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.2、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？练习一：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___.OABCBAO.70°x1.求圆中角x的度数.AO.x120°3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________35°120°130°25°练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三角形.··APBCO证明：∵∠ABC和∠APC都是⌒所对的圆周角.AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角，BC∴∠BAC=∠CPB=60°.∴△ABC等边三角形.练习三已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，求证：⌒⌒BD=DE证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）.ABCDE(1)一个概念（圆周角）内容小结：(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；(3)二个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等.谢谢