中考数学重点-三角形（下）

1【例4】已知梯形ABCD中，60ADBCCDBCC=∠=°=∠=°=∠=°=∠=°∥，，，若6028AEBDAE∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°∠=°，。求EBC∠∠∠∠的度数。【例5】(2007北京)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若1602ADCBEBCA∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠∠=°∠=∠=∠，，请你写出图中一个与A∠∠∠∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在ABC∆中，如果A∠∠∠∠是不等于60°°°°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且12DCBEBCA∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。三角形（下）2板块三相似三解形【铺垫】(2009重庆江津)在ABC∆中，BC＝10，B、C分别是图①中的中点，在图②中，B1、B2、C1、C2分别是AB、AC的三等分点，在图③中B1、B2、…、B9；C1、C2…、C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1＋B2C2＋…＋B9C9的值是______________。【例6】(2009石景山一模)已知：如图⑴，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动点(点E与A、B不重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD＋DE＝AB＝a。⑴求证：ADE∆∽BEC∆；⑵如图⑵，当点E为AB边的中点时，求证：AD＋BC＝CD；⑶设AE＝m，请探究：BEC∆的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示BEC∆的周长；若无关，请说明理由。3【拓展】(2010东城一模)如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD＋PE＋PF=；阴影部分的面积为_____。测试题演练1(2007河北)在ABC∆中，ABAC=，CGBA⊥交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。⑴在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑵当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA⊥于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF+与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)ABCFG图1ABCEFG图2DABCDEFG图34演练2(2010昌平二模)如图1，在菱形ABCD中，点EF、分别为边ADCD、上的动点(都与菱形的顶点不重合)，连接EF、BE、BF。⑴若60A∠=�，且AECFAB+=，判断BEF∆的形状，并说明理由；⑵在⑴的条件下，设菱形的边长为a，求BEF∆面积的最小值。CDAB2()ABCEDF1演练3(2009广西贺州)图中是一副三角板，45°的三角板RtDEF∆的直角顶点D恰好在30°的三角板RtABC∆斜边AB的中点处，3045AE∠=°∠=°，90EDFACB∠=∠=°，DE交AC于点G，GMAB⊥于M。⑴如图1，当DF经过点C时，作CNAB⊥于N，求证：AMDN=。⑵如图2，当DFAC∥时，DF交BC于H，作HNAB⊥于N，⑴的结论仍然成立，请你说明理由。21EHABCDFGMNNMGFEDCBA5答案【解析1】⑴BFCG=；在ABF∆和ACG∆中，∵90FGFABGACABAC∠=∠=°∠=∠=，，，∴(AAS)ABFACG∆∆≌，∴BFCG=。⑵DEDFCG+=；过点D作DHCG⊥于点H（如图4）。∵DEBA⊥于点E，90GDHCG∠=°⊥，，∴四边形EDHG为矩形，∴DEHGDHBG=，∥，∴GBCHDC∠=∠，∵ABAC=，∴FCDGBCHDC∠=∠=∠，又∵90FDHCCDDC∠=∠=°=，，∴(AAS)FDCHCD∆∆≌，∴DFCH=。∴GHCHDEDFCG+=+=，即DEDFCG+=。⑶仍然成立。【解析2】⑴答：BEF∆的形状为等边三角形……………………………………………1分证明：如图1，在菱形ABCD中，60A∠=�，∴ABDC∥，ABBCCDDA===。∴120ADC∠=�，∴1260∠=∠=�。∴160ABDA∠=∠=∠=�。∴,2ABBDA=∠=∠。∵AECFAB+=，DFCFCD+=，∴AEDF=。∴ABE△≌DBF△。∴,34BEBF=∠=∠………………………………………2分又∵3560∠+∠=�，∴4560∠+∠=�…………………………………………3分∴BEF∆为等边三角形。⑵如图2，当BEAD⊥时，BE最小，此时，BEFS∆最小。设此时EF与BD交于点M，∴30ABEDBE∠=∠=�。∵60BEM∠=�，∴90BME∠=�。在RtABE△中，ABa=，∴32BEa=，∴32EFa=…………4分在RtBEM△中，60BEM∠=�，ABCEFG图4HD12345ABCEDF1M2FDEBAC6∴34BMa=…………………………………………5分∴2113333222416BEFSEFBMaaa∆=⋅=××=…………………………6分【解析3】⑴∵3090AACB∠=°∠=°，，D是AB的中点，∴BCBD=，60B∠=°∴△BCD是等边三角形。又∵CNDB⊥，∴12DNDB=，∵90EDF∠=°，BCD∆是等边三角形。∴30ADG∠=°，而30A∠=°，∴GAGD=。∵GMAB⊥，∴12AMAD=又∵ADDB=，∴AMDN=。⑵∵DFAC∥，∴30BDFA∠=∠=°，90AGDGDH∠=∠=°，∴60ADG∠=°。∵60B∠=°，ADDB=，∴ADGDBH∆∆≌，∴AGDH=，又∵BDFA∠=∠，GMAB⊥，HNAB⊥，∴AMGDNH∆∆≌．∴AMDN=.