中考数学专题之二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题

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2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念,关联着平面图形中的重要元素边与角,由动点而生成的面积问题,是抛物线与直线形结合的觉形式,常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算,解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型,此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决动点产生的面积问题,常用到的知识和方法有:(1)如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.(2)三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.(3)同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.(4)同底三角形的面积比等于高的比.(5)同高三角形的面积比等于底的比.【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图,抛物线2(1)yxk与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点(0,3)C.P为抛物线上一点,横坐标为m,且0m.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点)P最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;②当9h时,直接写出BCP的面积.【变式训练】如图,抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点(0,4)C,与x轴交于点A、B,点A坐标为(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CKKN最小,并求出点K的坐标;(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作//QEAC,交BC于点E,连接CQ.当CQE的面积最大时,求点Q的坐标;【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229yxbxc与x轴交于(1,0)A,(5,0)B两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)当PCF的面积为5时,求点P的坐标;(3)当PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.【变式训练】已知抛物线23yaxbx经过点(1,0)A和点(3,0)B,与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(1)抛物线的解析式为____,抛物线的顶点坐标为____;(2)如图1,连接OP交BC于点D,当:1:2CPDBPDSS时,请求出点D的坐标;(3)如图2,点E的坐标为(0,1),点G为x轴负半轴上的一点,15OGE,连接PE,若2PEGOGE,请求出点P的坐标;(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图,二次函数23yxbx的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(1)b______;(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PMMNNH?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且2PQBQRBSS,求点P的坐标.【变式训练】如图,抛物线2yaxbxc的图象过点(1,0)A、(3,0)B、(0,3)C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及PAC的周长;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得PAMPACSS?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,3).(1)求该二次函数的表达式;(2)点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且EDEF,求点E的坐标.(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得ADG的面积是BDG的面积的35?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【变式训练】如图抛物线2yaxbxc经过点(1,0)A,点(0,3)C,且OBOC.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D、E在直线1x上的两个动点,且1DE,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,求点P的坐标.【达标检测】1.如图,已知抛物线23yaxbx与x轴交于点(3,0)A和点(1,0)B,交y轴于点C,过点C作//CDx轴,交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线(30)ymm与线段AD、BD分别交于G、H两点,过G点作EGx轴于点E,过点H作HFx轴于点F,求矩形GEFH的最大面积;(3)若直线1ykx将四边形ABCD分成左、右两个部分,面积分别为1S,2S,且12:4:5SS,求k的值.2.如图,抛物线2(0)yaxbxa过点(10,0)E,矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设(,0)At,当2t时,4AD.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持2t时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.3.已知:如图,抛物线223yxx与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.(1)求点A、B、C的坐标.(2)求直线BM的函数解析式.(3)试说明:90CBMCMB.(4)在抛物线上是否存在点P,使直线CP把BCM分成面积相等的两部分?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图1,抛物线21:Cyxax与22:Cyxbx相交于点O、C,1C与2C分别交x轴于点B、A,且B为线段AO的中点.(1)求ab的值;(2)若OCAC,求OAC的面积;(3)抛物线2C的对称轴为l,顶点为M,在(2)的条件下:①点P为抛物线2C对称轴l上一动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标;②如图2,点E在抛物线2C上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线232yxbxc与x轴交于(1,0)A,(2,0)B两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)直线yxn与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且4BEEC.①求n的值;②连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,AGF与CGD是否全等?请说明理由;(3)直线(0)ymm与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M,点H的坐标为(1,0).若四边形OMNH的面积为53.求点H到OM的距离d的值.6.如图,已知二次函数23(2)34yaxax的图象经过点(4,0)A,与y轴交于点B.在x轴上有一动点(Cm,0)(04)m,过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.(1)求a的值和直线AB的解析式;(2)过点D作DFAB于点F,设ACE,DEF的面积分别为1S,2S,若124SS,求m的值;(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且DEGH周长取最大值时,求点G的坐标.7.如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线23yaxbx经过点(1,0)A、(3,0)B两点,且与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ.(Ⅰ)若点P的横坐标为12,求DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;(Ⅱ)直尺在平移过程中,DPQ面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.8.已知抛物线2(1)yax过点(3,1),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点B、C均在抛物线上,其中点1(0,)4B,且90BDC,求点C的坐标;(3)如图,直线4ykxk与抛物线交于P、Q两点.①求证:90PDQ;②求PDQ面积的最小值.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线222433yxx与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动,同时,点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t秒,求运动时间t为多少秒时,PBQ的面积S最大,并求出其最大面积;(3)在(2)的条件下,当PBQ面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点M,使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,已知抛物线2342yaxx的对称轴是直线3x,且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标;(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),则是否存在一点P,使PBC的面积最大.若存在,请求出PBC的最大面积;若不存在,试说明理由;(3)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当3MN时,求M点的坐标.

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