八年级数学下册 阶段专题复习 第19章 矩形、菱形与正方形课件 （新版）华东师大版

阶段专题复习第19章请写出框图中数字处的内容：①_____；②_____；③_____；④_____.直角相等相等直角考点1矩形的性质与判定【知识点睛】矩形的性质与判定方法1.性质应用：(1)证明线段的平行、相等或倍分关系.(2)证明角相等或求角的度数.(3)解决与全等或相似有关的问题.2.常用的判定方法：已有条件需要条件平行四边形有一个角是直角邻角相等对角线相等一般四边形有三个角是直角对角线互相平分且相等【例1】如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上且AE=CG，AH=CF.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形.【思路点拨】(1)易证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，从而证得EH=GF，GH=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证.(2)由题意，易证得∠EHG=90°，又由(1)知四边形EFGH是平行四边形，故四边形EFGH是矩形.【自主解答】(1)在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF.∴EH=GF.在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF.又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH.∴GH=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.(2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．1809022＝．18018022＝．【中考集训】1.(2012·南通中考)如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A.cmB.2cmC.cmD.4cm【解析】选D．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AC＝4cm．323122.(2012·自贡中考)如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BD，DF，则图中全等的直角三角形共有()A.3对B.4对C.5对D.6对【解析】选B.由矩形的性质可知，对角线分得的两个直角三角形全等，又因为E是CD中点，故DE=CE，且∠AED=∠FEC，∠ADE=∠FCE=90°，故△ADE≌△FCE，从而AD=CF，因此△BDC≌△FDC，进而△ADB≌△CFD，所以全等的直角三角形共有4对.3.(2012·盐城中考)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是(填上你认为正确的一个答案即可).【解析】∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，而“有一个角是直角”的平行四边形是矩形，故可填的条件是：四边形ABCD内有一个直角.答案：∠A=90°(答案不唯一)4.(2012·肇庆中考)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD=BE.(2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE=AC，∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8.∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，在Rt△BCD中，BC=∴四边形ABED的面积=(4+8)×12122222BDCD8443，1243243.考点2菱形的性质与判定【知识点睛】菱形的常用判定方法已有条件需要条件平行四边形邻边相等对角线互相垂直每条对角线平分一组对角一般四边形四条边都相等对角线互相垂直平分【例2】(2012·娄底中考)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点.(1)求证：△MBA≌△NDC.(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.【思路点拨】(1)先由矩形性质确定∠A=∠C，AB=DC，再说明AM=NC，从而证明△MBA≌△NDC.(2)先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由PN=MP，可得四边形MPNQ是菱形.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=DC，AD=BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM=NC，∴△MBA≌△NDC.(2)四边形MPNQ是菱形.理由：∵△MBA≌△NDC，∴MB=DN，∠ABM=∠CDN，∵P，Q分别是BM，DN的中点.∴PM=NQ，∵∠ABM+∠CBM=90°，∠CDN+∠CND=90°，∴∠CBM=∠CND，∴PM∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形.连结MN，由题意可得四边形AMNB是矩形，PN为直角三角形斜边上的中线，故PN=MP，∴四边形MPNQ是菱形.【中考集训】1.(2012·成都中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC【解析】选B.菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC；菱形的对角线一定垂直，所以AC⊥BD；菱形的对角线互相平分，所以OA=OC；菱形的对角线不一定相等.2.(2012·厦门中考)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于()A.40°B.50°C.80°D.100°【解析】选C．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°，∵CB∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-100°=80°．123.(2012·大连中考)如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是()A.20B.24C.28D.40【解析】选A．∵菱形对角线互相垂直平分，设O为AC，BD交点，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20．22AOBO4.(2012·温州中考)如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连结AD.求证：四边形ACFD是菱形.【证明】方法一：∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm.由平移变换的性质，得CF=AD=10cm，DF=AC，∴AD=CF=AC=DF，∴四边形ACFD是菱形.方法二：由平移变换的性质，得AD∥CF，AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是平行四边形.∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm.∴AD=AC，∴□ACFD是菱形.【归纳整合】菱形的判定思路(1)分析条件判定四边形是一个平行四边形.(2)从边或对角线的关系判定平行四边形是一个菱形，这是一般的规律和方法.利用定义证明是最常用的办法.5.(2012·济宁中考)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E和F.(1)在图中画出线段DE和DF.(2)连结EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？【解析】(1)如图所示：(2)∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠EAD.∵AB∥DE，∴∠FAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形，∴AD与EF互相垂直平分.考点3正方形的性质与判定【知识点睛】判定正方形的一般思路【例3】(2012·呼伦贝尔中考)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF=CE.(1)求证：DE=DF.(2)当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论.【思路点拨】(1)DE⊥AC，DF⊥AB→∠BFD=∠CED=90°→Rt△BDF≌Rt△CDE→DE=DF.(2)∠A=90°→四边形AFDE是矩形DF=DE结论.【自主解答】(1)∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DE=DF.(2)四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【中考集训】1.(2012·沈阳中考)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有()A.4个B.6个C.8个D.10个【解析】选C.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个.2.(2012·天津中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()A.31B.35C.51D.51【解析】选D.∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝2，∵M为边AD的中点，∴DM＝1，∴ME=MC=∴DG=DE=-1.22125，53.(2013·青岛中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.(1)求证：△ABM≌△DCM.(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论.(3)当AD∶AB=时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明).【解析】(1)在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠D=90°，又∵M是AD的中点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM.(2)四边形MENF是菱形.证明：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NF∥ME，NF=ME，∴四边形MENF是平行四边形，由(1)得BM=CM，∴ME=MF，∴平行四边形MENF是菱形.即四边形MENF是菱形.(3)2∶1.4.(2013·鞍山中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE=CF.(2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【解析】(1)∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF.∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠BCD=∠ECF=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF.∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.