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19.2菱形1.菱形的性质1.掌握菱形的性质.(重点)2.会用菱形的性质进行计算或证明.(重点、难点)一、菱形的概念有_________相等的平行四边形.二、菱形的性质如图，菱形ABCD中，AB=AD.∵四边形ABCD是菱形，也是平行四边形，∴AB=___，AD=___，OA=___，OB=___，又∵AB=AD，∴AB=___=AD=___，在等腰△ABD中，∵OB=___，∴AO___BD.一组邻边CDBCOCODCDBC⊥OD【总结】菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一般性质.(2)定理1：菱形的四条边_______.(3)定理2：菱形的对角线_________.(4)对称性：菱形既是_________图形，也是轴对称图形，它的_________________就是它的对称轴.都相等互相垂直中心对称对角线所在的直线(打“√”或“×”)(1)菱形的对角线互相垂直且相等.()(2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.()(3)菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.()×√√知识点1菱形的性质【例1】(2013·南宁中考)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点.(1)求证：△ABE≌△CDF.(2)若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长.【思路点拨】(1)四边形ABCD是菱形→AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，又点E，F分别是边BC，AD的中点→△ABE≌△CDF.(2)∠B=60°→△ABC是等边三角形→在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4→BE=2→由勾股定理求AE的长.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF.ABCDBDBEDF，，，(2)∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，∴BE=2，由勾股定理得，AE=2222ABBE4223.－－【总结提升】菱形性质的应用(1)边、角之间的关系，可以将问题转化到全等三角形中，进行有关边、角的位置或数量关系的证明、计算.(2)对角线的性质，可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，进行有关边角的证明、计算.(3)菱形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图形的旋转和折叠提供了解题的方法.(4)菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，两对全等的等腰三角形，常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的证明、计算，有时也与角平分线的性质结合解题.知识点2菱形的有关计算【例2】如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a．(1)求∠ABC的度数.(2)求对角线AC的长.(3)求菱形ABCD的面积．【思路点拨】(1)连结BD，先判断△ABD的形状，再求∠ABC的度数.(2)先求OB的长，再由勾股定理计算OA的长，进而得AC的长.(3)由菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，求菱形ABCD的面积.【自主解答】(1)连结BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴OB＝∴OA＝∴AC＝2AO＝(3)S菱形ABCD＝111BDABa222＝＝．222213ABOBa(a)a22＝＝，3a.2113ACBD3aaa222＝＝．【总结提升】菱形的相关计算如果菱形两对角线长为a，b，则其边长为周长为面积为221ab2，222ab，1ab.2题组一：菱形的性质1.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为()A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm【解析】选C.∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周长=AB×4=5×4=20(cm)．2.(2013·广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AO=4，求BD的长.【解析】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，DO=BO，∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．22543.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝BE．【证明】∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA．又∵∠ABC＝60°，∴BC＝AC＝AD．∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形．∴CE＝AD＝BC，DE＝AC．∴DE＝CE＝BC，∴DE＝BE.12124.如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数.【解析】连结AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ACB=∠ACF.又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC.∴∠ACF=∠B=60°.∵∠EAF=∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°.又∵∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE，∠BAE=18°，∴∠CEF=18°.5.(2013·贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE=EC.(2)当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.【解析】(1)连结AC，∵BD和AC是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE=EC.(2)点F是线段BC的中点.理由：∵ABCD是菱形，∴AB=CB.又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°.∵AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.∵∠CEF=60°，∴∠EAC=30°，∴AF是△ABC的角平分线，∴BF=CF，∴点F是线段BC的中点.题组二：菱形的有关计算1.(2013·巴中中考)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是()A．24B．16C．D．41323【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，AB=∴菱形的周长是4AB=121222OAOB13，413．2.(2013·扬州中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于()A．50°B．60°C．70°D．80°【解析】选B.如图，连结BF，∵在菱形ABCD中，∠BAD=80°，∴∠FAB=∠DCF=40°，∵EF垂直平分AB，∴AF=BF，则∠FAB=∠FBA=40°，∴∠CFB=∠FAB+∠FBA=80°，∴在△CDF中，∠CDF=60°.3.(2013·随州中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.10【解析】选B.∵AC是菱形ABCD的对角线，∠BAD=120°，∴∠BAC=60°.∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.∵△ABC的周长是15，∴边长AB=5.∴菱形ABCD的周长为5×4=20.【归纳整合】含有60°或120°内角的菱形的性质(1)短的对角线与菱形相邻的两边构成的三角形是等边三角形.(2)菱形的两条对角线把菱形分成的四个全等的直角三角形中的较小锐角为30°，可利用这一特殊边角关系解决问题.(3)如果菱形的边长为a，那么菱形的面积为23a.24.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为cm2.【解析】因为E是AB的中点，所以AE=1cm，又因为DE⊥AB，所以在Rt△ADE中，DE=所以菱形的面积为AB·DE=答案：22ADAE413cm，223cm.23【想一想错在哪？】已知菱形的周长为24，一条对角线长为8，求菱形的面积.提示：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.