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2.矩形的判定1.能判断一个四边形为矩形.(重点)2.会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.(重点、难点)1.如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD，猜想四边形ABCD的形状.【思考】(1)△ABC与△DCB有怎样的关系？提示：全等.(2)∠ABC，∠DCB的度数是多少？提示：∠ABC=∠DCB=90°.(3)由此可判定四边形ABCD是哪种特殊平行四边形？提示：矩形.2.若一个四边形有三个内角是直角.【思考】(1)这个四边形的第四个角是什么角？提示：直角.(2)这个四边形的两组对角相等，它是什么四边形？提示：平行四边形.(3)这个四边形是矩形吗？理由是什么？提示：是.有一个角是直角的平行四边形是矩形.【总结】矩形的判定：(1)定义法：有一个角是_____的平行四边形是矩形.(2)定理1：有三个角是_____的四边形是矩形.(3)定理2：对角线_____的平行四边形是矩形.直角直角相等(打“√”或“×”)(1)有一个角是直角的四边形是矩形.()(2)对角线相等的四边形是矩形.()(3)四个角都相等的四边形是矩形.()(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.()××√√知识点矩形的判定【例】(2013·聊城中考)如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE.【思路点拨】过点B作BF⊥CE于F→∠BCF=∠D→△BCF和△CDE全等→BF=CE，又四边形AEFB是矩形→AE=BF→结论.【自主解答】如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D.在△BCF和△CDE中，∴△BCF≌△CDE，∴BF=CE.又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．BCFDCEDBFC90BCCD，，，【总结提升】矩形的判定方法已有条件需要条件平行四边形有一个角是直角邻角相等对角线相等一般四边形有三个角是直角对角线互相平分且相等题组：矩形的判定1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD【解析】选D.由条件知四边形ABCD是平行四边形，若AC=BD，即对角线相等，故是矩形.2.如图，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是()A.AB=BCB.AC，BD互相平分C.AC⊥BDD.AB∥CD【解析】选B.若AC，BD互相平分，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，故是矩形.3.(2013·宿迁中考)如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α为度时，两条对角线长度相等.【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°.答案：904.如图，已知E是□ABCD中BC边的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE.(2)连结AC，BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形.【证明】(1)∵E是BC的中点，∴BE=CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE.在△ABE与△FCE中∴△ABE≌△FCE.BAECFEAEBFECBECE，，，(2)∵∠AEC=∠ABE+∠BAE，∠AEC=2∠ABC，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE.∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF.∵BE=CE，∴AE=EF=BE=CE，且AF=BC，∴四边形ABFC为矩形.5.(2013·南通中考)如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形.【证明】∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，∴∠BAE=∠CAD.∵在△BAE和△CAD中，∴△BAE≌△CAD，∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，AEADBAECADABAC，，，∵DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形.∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形.6.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．(1)求证：CD＝AN.(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【证明】(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA．又∵MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN，∴AD＝CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC．由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【想一想错在哪？】已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．提示：一个角是90°的四边形不一定是矩形，还要说明它是平行四边形或还有另外两个角是直角.