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18.2平行四边形的判定第1课时1.熟记平行四边形的两个判定定理.(重点)2.能应用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边形.(重点、难点)平行四边形的判定1.如图，将两根同样长的木条AB，CD平行放置，再用木条AD，BC加固，这样就得到一个四边形.2.如图所示的四边形，是由木棒钉制而成的.【思考】(1)对于问题1，从图知看似是一个平行四边形.怎样说明它是一个平行四边形呢？提示：只需证明四边形的两组对边分别平行，根据平行四边形的定义即可判定.(2)你能说明问题1中四边形的形状吗？提示：能.连结AC，∵两根木条的长度相等，∴AB=CD，又因AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又因AC=CA，可证△ABC≌△CDA(S.A.S.)，故∠ACB=∠CAD，进而得AD∥BC，又已知AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.(3)问题2中的四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？提示：是.理由，连结AC，由图中可知AB=DC=30，BC=DA=40，又AC=CA，故由“S.S.S.”得△ABC≌△CDA，又由三角形全等的性质得∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，故AB∥CD，AD∥CB.因此由平行四边形的定义知四边形ABCD是平行四边形.【总结】(1)定义法：两组对边_________的四边形是平行四边形.(2)判定定理1：两组对边_________的四边形是平行四边形.(3)判定定理2：一组对边___________的四边形是平行四边形.分别平行分别相等平行且相等(打“√”或“×”)(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.()(2)有两组对边分别相等的四边形是平行四边形.()(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.()(4)一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形.()(5)一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形.()×√√√×知识点1从两组对边的角度判定平行四边形【例1】(2013·黔南州中考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.求证：(1)△AEF≌△BEC.(2)四边形BCFD是平行四边形.【思路点拨】(1)要证明△AEF≌△BEC，已经具备了∠AEF=∠BEC，AE=EB，再证明一对角相等即可.可以证明∠DAB=∠ABC=60°.(2)可利用两组对边分别平行，证明四边形BCFD是平行四边形.【自主解答】(1)∵E是AB中点，∴AE=BE，∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°=∠DAB，∵∠FEA=∠CEB，∴△AEF≌△BEC(A.S.A.).(2)∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°，∴∠DAC=90°，∴AD∥BC.∵E是AB的中点，∠ACB=90°，∴EC=AE=BE，∴∠ECA=30°，∠FEA=60°，∠EFA=∠BDA=60°，∴CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形.【总结提升】从两边的角度证明平行四边形的方法(1)两组对边分别平行的四边形.(2)两组对边分别相等的四边形.知识点2从一组对边的角度判定平行四边形【例2】(2013·梧州中考)如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.求证：四边形BECF是平行四边形.【思路点拨】由BE⊥AD，CF⊥AD可得BE∥CF，根据已知条件证明△AEB≌△DFC，得出BE=CF.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形BECF是平行四边形.【自主解答】∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，BE∥CF，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，又∵AE=DF，∴△AEB≌△DFC，∴BE=CF.∴四边形BECF是平行四边形.【总结提升】从边的角度判定平行四边形的三点注意(1)判定一个四边形是平行四边形需要两个条件.(2)对于已知两组对边的情况：可以通过判定这两组对边分别平行，也可以判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形.(3)对于已知一组对边的情况：需要证明这一组对边平行且相等.题组一：从两组对边的角度判定平行四边形1.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是()A.5B.10C.15D.20【解析】选B.∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDC，∴BF=FD，DE=EC，∴□AFDE的周长等于AB+AC=10.2.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，图中共有个平行四边形.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD.所以是平行四边形的有：□AEOG，□EOHB，□OFCH，□GDFO；□ADFE，□EFCB，□AGHB，□GDCH；□ABCD；共9个.答案：93.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.求证：(1)△ABE≌△CDF.(2)四边形BFDE是平行四边形.【证明】(1)在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，又∵点E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=CF.∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF(S.A.S.).(2)∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵点E，F分别是AD，BC的中点，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形.题组二：从一组对边的角度判定平行四边形1.如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=DC，AD=BCB.AB∥DC，AD∥BCC.AB∥DC，AD=BCD.AB∥DC，AB=DC【解析】选C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故C不能判定四边形ABCD是平行四边形.2.(2013·郴州中考)如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.【证明】因为BE∥DF，所以∠AFD=∠CEB，又因为∠ADF=∠CBE，AF=CE，所以△ADF≌△CBE，所以DF=BE.又BE∥DF，所以四边形DEBF是平行四边形.3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF.求证：(1)△ABC≌△DEF.(2)四边形ABED是平行四边形.【证明】(1)∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF.又∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴△ABC≌△DEF.(2)∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE.∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形.4.(2013·青海中考)如图，已知□ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形.【证明】在□ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠ABD=∠CDB.又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BAM=∠DCN.∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形.【想一想错在哪？】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在直线DE上，且AF=CE=AE.求证：四边形ACEF是平行四边形.提示：没有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形的判定方法，本题可用EFCA或EF=CA，AF=CE进行判定.