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17.3一次函数1.一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的联系.(重点)2.能根据所给条件写出简单的一次函数关系式.3.经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力.4.通过由已知信息写一次函数关系式的过程，发展学生的数学应用能力.(难点)汽车离开A站4km，再以40km/h的平均速度行驶了xh，那么汽车离开A站的距离y(km)与时间x(h)之间的关系是怎样的？【思考】(1)上面问题中的相等关系是什么？提示：路程=速度×时间，离开A站的距离=4+又行驶的路程.(2)如何用关系式表示y与x的关系？是正比例函数吗？提示：根据(1)的相等关系可得，y=40x+4(x≥0).从关系式上来看，不是正比例函数，比正比例函数多了一个常数项.(3)这种函数关系是什么函数？怎样用关系式表示一般形式？提示：这种函数是一次函数，一般形式为y=kx+b(k，b是常数，k≠0).【总结】(1)一次函数的定义：形如_______(k，b是常数，k≠0)的函数.(2)一次函数与正比例函数的关系：如果一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中的常数b=__，关系式变为y=kx(k是常数，k≠0)，即正比例函数.y=kx+b0(打“√”或“×”)(1)正比例函数一定是一次函数.()(2)一次函数一定是正比例函数.()(3)y=+3是一次函数.()(4)一次函数y=－3，其中k=5，b=-3.()x2√×√x5×知识点1一次函数、正比例函数的判别【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=(2)y=1-x.(3)y=x2.(4)y=2+2(x-1).【思路点拨】根据一次函数与正比例函数的定义进行判断.2x.3【自主解答】(1)y=不能化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.(2)y=1-x=-x+1，其中k=-1，b=1，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.(3)y=x2的自变量次数不是1，所以y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.(4)y=2+2(x-1)=2+2x-2=2x，所以y是x的一次函数，也是x的正比例函数.23x【总结提升】判断两个变量是否为一次函数关系的“三步法”知识点2列一次函数关系式【例2】写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1)三角形的一边为8cm，三角形的面积y(cm2)与此边上的高x(cm)的关系.(2)某小汽车的油箱可装汽油30L，原来装有汽油10L，现在再加汽油xL，如果每升汽油7.5元，油箱内汽油的总价y(元)与x(L)之间的关系.【思路点拨】先确定y与x之间的关系式，再判断y与x的函数关系.【自主解答】(1)由三角形的面积公式，得y=4x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.(2)由题意得y=10×7.5+7.5x=7.5x+75(0＜x≤20)，y是x的一次函数，但不是正比例函数.【总结提升】在实际问题中列一次函数关系式的方法(1)列实际问题中的一次函数关系式和列方程解应用题的思路相同，只是书写格式不同.(2)首先要认真审题，找出等量关系，用字母表示问题中的变量，然后根据题意列出一次函数关系式.(3)根据实际问题的实际意义，写出自变量的取值范围.题组一：一次函数、正比例函数的判别1．下列函数：①y=x；②y=③y=④y=2x+1，其中一次函数的个数是()A.1B.2C.3D.4x4；4x；【解析】选C．一次函数y=kx+b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自变量次数为1．①y=x是一次函数；②y=是一次函数；③y=自变量次数不为1，故不是一次函数；④y=2x+1是一次函数．x44x2.函数y=(2-a)x+b-1是正比例函数的条件是()A.a≠2B.b=1C.a≠2且b=1D.a，b可取任意实数【解析】选C.根据正比例函数的意义得出：2-a≠0，b-1=0，解得a≠2，b=1.3.若函数y=(m-1)x|m|+2是一次函数，则()A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m≠-1【解析】选B.根据题意得：m-1≠0，|m|=1，解得m=-1.4.在一次函数y=-2(x+1)+x中，比例系数k为，常数项b为.【解析】化简一次函数为y=-2(x+1)+x=-x-2，故其比例系数k为-1，常数项b为-2.答案：-1-25.已知函数y=(m-1)xm2+1是一次函数，则m=_______.【解析】∵一次函数y=kx+b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自变量次数为1，∴m-1≠0，m2=1，解得m=-1.答案：-16．已知函数y=(m-10)x+1-2m．(1)m为何值时，这个函数是一次函数？(2)m为何值时，这个函数是正比例函数？【解析】(1)根据一次函数的定义可得：m-10≠0，∴m≠10时，这个函数是一次函数.(2)根据正比例函数的定义，可得：m-10≠0且1-2m=0，∴m=时，这个函数是正比例函数．12题组二：列一次函数关系式1．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是()A．路程一定时，时间y和速度x的关系B．长10米的铁丝折成长为y，宽为x的长方形C．圆的面积y与它的半径xD．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x【解析】选B．A，设路程是s，则根据题意知，y=不是一次函数关系．B，根据题意，知10=2(x+y)，即y=-x+5，符合一次函数的定义．C，根据题意，知y=πx2，自变量次数为2，不符合一次函数的定义．D，根据题意，知x2+y2=25，不符合一次函数的定义．sx，2.甲乙两地相距200km，一辆客车从甲地驶往乙地，客车行驶的平均速度为80km/h．xh后客车距乙地ykm，则y与x之间的函数关系式为()A．y=80x-200B．y=-80x-200C．y=80x+200D．y=-80x+200【解析】选D．由题意得y=200-80x=-80x+200．3.为庆祝建校30周年，学校组织文艺汇演，八年级排练队形为10排，第一排20人，后面每排比前排多2人，则每排人数y与这排的排数x之间的函数关系式为________．【解析】根据题意得y=20+(x-1)×2=20+2(x-1)=2x+18(1≤x≤10，且x为整数)．答案：y=2x+18(1≤x≤10，且x为整数)4.一个长为120m，宽为100m的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm，宽增加ym，则y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是，且y是x的函数.【解析】依题意有120+x=100+y，则y=x+20，x不能是负数，所以x≥0，符合一次函数的一般形式.答案：y=x+20x≥0一次5.某汽车加油站储油45000L，每天给汽车加油1500L，那么储油量y(L)与加油x(天)之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围.【解析】根据题意得储油量y(L)与加油x(天)之间的关系式是：y=45000-1500x，∵1500x≤45000，x≥0，∴0≤x≤30，即y=45000-1500x(0≤x≤30).【想一想错在哪？】已知函数y=(k+3)x2k－1+4x－5是一次函数，试求k的值．提示：漏情况而出现答案不全致错．