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4.2一次函数1.理解一次函数、正比例函数的概念.(重点)2.掌握一次函数、正比例函数之间的关系.(重点)3.能根据所给条件写出简单的一次函数的表达式并求函数值.(重点、难点)1.汽车离开A站4km,再以40km/h的平均速度行驶了xh,那么汽车离开A站的距离y(km)与时间x(h)之间的关系是怎样的?【思考】(1)上面问题中的相等关系是什么?提示:路程=速度×时间,离开A站的距离=4+又行驶的路程.(2)如何用表达式表示y与x的关系?是正比例函数吗?提示:根据(1)的相等关系可得,y=40x+4(x≥0).从关系式上来看,不是正比例函数,比正比例函数多了一个常数项.(3)这种函数关系是什么函数?怎样用表达式表示一般形式?提示:这种函数是一次函数,一般形式为y=kx+b(k,b是常数,k≠0).2.某文具店销售某种型号的水笔,销售情况记录如下:售出水笔数(支)23451015…营业额(元)57.51012.52537.5…【思考】(1)表中每对数据有什么关系?提示:=2.5,=2.5,=2.5,…(2)若设售出水笔x支,营业额为y元,如何表示y与x的关系?提示:y=2.5x(x0).(3)这种函数关系是什么函数?怎样用表达式表示一般形式?提示:这种函数是正比例函数,一般形式为y=kx(k≠0).527.53104【总结】(1)一次函数:关于自变量的_____式,像这样的函数称为一次函数,其一般形式是_______(k,b为常数,_____).(2)正比例函数:特别地,当b=__时,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作_________.一次y=kx+bk≠00比例系数(打“√”或“×”)(1)y=kx是正比例函数.()(2)正比例函数一定是一次函数.()(3)一次函数一定是正比例函数.()(4)y=+3是一次函数.()(5)一次函数y=-3,其中k=5,b=-3.()x2×√×√x5×知识点1一次函数、正比例函数的概念【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)(2)y=1-x.(3)y=x2.(4)y=2+2(x-1).【思路点拨】根据一次函数与正比例函数的定义进行判断.2y.3x【自主解答】(1)不能化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.(2)y=1-x=-x+1，其中k=-1，b=1，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.(3)y=x2的自变量次数不是1，所以y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.(4)y=2+2(x-1)=2+2x-2=2x，所以y是x的一次函数，也是x的正比例函数.2y3x【总结提升】判断两个变量是否为一次函数关系的“三步法”知识点2一次函数的简单应用【例2】为了增强居民的节约用水意识,某市制定了新的水费收费标准:每户每月用水量不超过5t的部分,自来水公司按每吨2元收费;超过5t的部分,按每吨2.6元收费.设某户月用水量为xt,自来水公司应收水费为y元.(1)试写出y(元)与x(t)之间的函数表达式.(2)该户今年5月份的用水量为8t,自来水公司应收水费多少元?【思路点拨】分别确定不超过5t和超过5t的函数表达式→将自变量的值代入求函数值【自主解答】(1)当用水量不超过5t时,y=2x(x≤5);当用水量超过5t时,y=5×2+(x-5)×2.6=2.6x-3(x5).(2)当x=8时,因为85,所以y=2.6×8-3=17.8.答:自来水公司今年5月份应向该户收水费17.8元.【总结提升】用一次函数解决实际问题的“三步法”1.审题:抓住关键词,找出问题中的变量及变量间的关系.2.列式:根据变量间的关系列出函数表达式.3.求解:依据表达式,利用函数的有关概念解决实际问题.题组一：一次函数、正比例函数的概念1．下列函数：①y=x；②③④y=2x+1，其中一次函数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C．一次函数y=kx+b的定义条件是：k,b为常数，k≠0，自变量次数为1．①y=x是一次函数；②是一次函数；③自变量次数不为1，故不是一次函数；④y=2x+1是一次函数．xy4；4yx；xy44yx2.若函数y=3x2a-5是正比例函数,则a=.【解析】由题意知,2a-5=1,解得a=3.答案:33.在一次函数y=-2(x+1)+x中,比例系数k为,常数项b为.【解析】化简一次函数为y=-2(x+1)+x=-x-2,故其比例系数k为-1,常数项b为-2.答案:-1-24.若函数y=(6+3m)x+n-4是一次函数,则m应满足的条件是___________;若是正比例函数,则m,n应满足的条件是;若m=1,n=-2,则函数表达式是.【解析】若函数y=(6+3m)x+n-4是一次函数,则6+3m≠0,解得m≠-2;若是正比例函数,则6+3m≠0且n-4=0,解得m≠-2,n=4;把m=1,n=-2代入y=(6+3m)x+n-4得函数表达式为y=9x-6.答案:m≠-2m≠-2,n=4y=9x-65.已知当m为何值时,y是x的一次函数?【解析】由题意得解得所以m=-3.所以当m=-3时,可化为y=-6x+1,所以当m=-3时,y是x的一次函数.2m8ym3x1,2m81,m30,－－m3,m3.2m8ym3x1题组二:一次函数的简单应用1.如图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系中正确的是()A.y=4n-4B.y=4nC.y=4n+4D.y=n2【解析】选B.由图可知:y=1时,圆点有4个,y=2时,圆点有8个…所以y=4n.2.某种储蓄的月利率是0.6%,存入100元本金,则本息和y(元)(本息和=本金+本金×利率×月数)与所存月数x之间的函数表达式是.【解析】本题确定函数表达式的关键是根据基本数量关系“本息和=本金+本金×利率×月数”列出表达式.由题意知:y=100+100×0.6%x,即y=100+0.6x.答案:y=100+0.6x3.一化工厂生产某种产品,产品出厂价为500元/t,其原材料成本(含设备损耗)为200元/t,同时,生产1t该产品需付环保处理费及各项支出共计100元.写出利润y(元)与产品销量x(t)之间的函数表达式,销售该产品t,才能获得10万元利润.【解析】依题意有:y=(500-200-100)x=200x.当y=100000时,x=500.答案:y=200x5004.“母亲节”到了,八年级(1)班班委发起慰问烈士家属王大妈的活动,决定在“母亲节”期间全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金.已知同学们从花店按每支1.2元买进鲜花,并按每支3元售出.(1)求同学们卖出鲜花的销售额y(元)与销售量x(支)之间的函数表达式.(2)若从花店购买鲜花的同时,还总共用去40元购买包装材料,求所筹集的慰问金w(元)与销售量x(支)之间的函数表达式;若要筹集不少于500元的慰问金,则至少要售出鲜花多少支?(慰问金=销售额-成本)【解析】(1)y=3x.(2)w=3x-1.2x-40=1.8x-40.∴所筹集的慰问金w(元)与销售量x(支)之间的函数表达式为w=1.8x-40.当w≥500即1.8x-40≥500时,解得x≥300.∴若要筹集不少于500元的慰问金,至少要售出鲜花300支.5.为了提高土地利用率,将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起,俗称“三种三收”,现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种,为保证主要农作物的种植比例.要求小麦的种植面积占总面积的60%,下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表:小麦玉米黄豆亩产量(kg)400600220销售单价(元/kg)212.5(1)设玉米的种植面积为x亩,三种农作物的总售价为y元,写出y与x的函数表达式.(2)在保证小麦种植面积的情况下,玉米、黄豆同时均按整亩数套种,有几种“三种三收”套种方案?【解析】(1)由题意知玉米的种植面积为x亩,小麦的种植面积为6亩,黄豆的种植面积为4-x亩;y=400×2×6+600x+220×2.5×(4-x)=50x+7000.(2)玉米、黄豆同时均按整亩数套种,则x可取0x4,得出三种方案:①玉米1亩,黄豆3亩;②玉米2亩,黄豆2亩;③玉米3亩,黄豆1亩.【想一想错在哪？】已知函数y=(k+3)x2k-1+4x-5是一次函数,试求k的值.提示:分类讨论不全而致错!