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第3章图形与坐标3.1平面直角坐标系1.能在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标确定点的位置.2.知道坐标轴上的点和象限点的坐标特征,理解横纵坐标的特征.(重点)3.会用方向和距离表示两物体的相对位置.(重点、难点)一、点与有序实数对的对应关系平面内的点可用有序实数对表示,平面上的点与有序实数对_________.象限的划分及象限点的特征:一一对应二、平面直角坐标系1.定义:平面内画两条_________的数轴,其中一条叫横轴(__轴),另一条叫纵轴(__轴),它们的交点是两个数轴的_____,横轴向___是正方向,纵轴向___为正方向,这样的两条数轴组成了平面直角坐标系.2.点的坐标定义:对于平面内任意一点M,过点M分别向________作垂线,垂足在x轴,y轴上对应的数分别为a,b,那么______叫作点M的坐标,其中a叫作_______,b叫作_______.互相垂直xy原点右上x轴,y轴(a,b)横坐标纵坐标三、用方位表示物体的位置用方位来刻画两个物体相对位置时,要知道一个物体相对于另一个物体的_______和二者之间的_____.方位角距离(打“√”或“×”)(1)点(0,3)在第一象限.()(2)一个点可能同时在两个象限.()(3)点(-1,-3)到x轴的距离是3.()(4)如果两个点的横坐标相同,那么这两个点所在直线与横轴平行.()(5)只用方位角也可以确定物体的位置.()××√××知识点1平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】已知:点P(2m+4,m-1).试分别根据下列条件,求出点P的坐标.(1)点P在y轴上.(2)点P在x轴上.(3)点P的纵坐标比横坐标大3.(4)点P在过A(2,-3)点,且与x轴平行的直线上.【解题探究】(1)由点P的坐标及y轴上点的坐标特征你能得到哪个方程?解此方程,求出此时点P的坐标.提示:由题意得2m+4=0.解方程2m+4=0得m=-2,所以点P的坐标为(0,-3).(2)仿照(1)的求解过程确定P在x轴上时的坐标.提示:根据题意得m-1=0,解得m=1,所以点P的坐标为(6,0).(3)根据点P的纵坐标比横坐标大3,你能得到哪个方程?解此方程,求出此时点P的坐标.提示:m-1-(2m+4)=3.解方程m-1-(2m+4)=3得m=-8,所以P点的坐标为(-12,-9).(4)与x轴平行的直线上的点有什么特征?由此,你能得到哪个方程?解此方程,求出此时点P的坐标.提示:与x轴平行的直线上的点纵坐标相同.由此可得方程m-1=-3,解得m=-2,所以点P的坐标为(0,-3).【互动探究】本题中,如果点P在一、三象限的角平分线上,那么点P的坐标是多少?提示:因为一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相同,所以可得2m+4=m-1,解得m=-5.所以点P的坐标为(-6,-6).【总结提升】坐标系中特殊位置点的坐标特征1.坐标轴上的点的特征:(1)x轴上点的纵坐标为零.(2)y轴上点的横坐标为零.2.特殊直线上点的坐标特征:(1)①与x轴平行的直线上的点的纵坐标都相同;②与y轴平行的直线上的点的横坐标都相同.(2)①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等;②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.注:以上反之亦成立.知识点2用方向和距离确定物体的位置【例2】如图,在某海面上,B港在观测站A的正北方向10nmile处,一艘轮船向正东方向航行,当航行10nmile到达D处时,轮船在观测站A的北偏东30°处;继续航行20nmile到达C港.(1)计算观测站A与C港之间的距离和∠BAC的度数.(2)请用两种不同的方法确定C港所在的位置.3【思路点拨】(1)先确定△ABC的形状,求出BC及AC的长,再确定△ADC的形状,求出∠DAC的度数,再求出∠BAC的度数.(2)根据B港或A港的位置确定C港的位置.【自主解答】(1)因为B在A的正北方向，C港在B的正东方向，所以∠B=90°，即△ABC是直角三角形，BC=BD+DC=10+20=30(nmile)，所以=2222ACABBC10330203nmile.因为AD=所以AD=DC，所以△ADC是等腰三角形.因为∠ADB=90°-∠BAD=60°，所以∠ADC=180°-∠ADB=120°，所以∠DAC=∠C=(180°-∠ADC)=30°，所以∠BAC=60°.(2)C港在B港的正东方向，距离为30nmile处.C港在A的北偏东60°，距离为20nmile处.(答案不唯一)2222ABBD1031020nmile,123【总结提升】实际问题中确定点的位置的“三步法”1.转化:将实际问题转化为数学问题(有时需要根据题意构建图形).2.求值:根据图形求出有关线段的长度和角的度数.3.定位:利用两个数据确定点的位置.题组一:平面直角坐标系内点的坐标特征1.(2013·湛江中考)在平面直角坐标系中,点A(2,-3)在第()象限()A.一B.二C.三D.四【解析】选D.由于点A的横坐标是正数,纵坐标是负数,因此这个点在第四象限.2.(2013·淄博中考)如果m是任意实数,则点P(m-4,m+1)一定不在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.当m-1时,m-40,m+10,此时点P在第三象限;当-1m4时,m-40,m+10,此时点P在第二象限;当m4时,m-40,m+10,此时点P在第一象限,所以点P一定不在第四象限.3.在平面直角坐标系中,在第二象限内有一点P,且点P到x轴的距离是3,到y轴的距离是2,则点P的坐标为()A.(-2,3)B.(-3,2)C.(3,2)D.(2,-3)【解析】选A.因为点P在第二象限,点P到x轴的距离是3,所以点P的纵坐标是3,点P到y轴的距离是2,所以点P的横坐标是-2,所以点P的坐标为(-2,3).4.如图,长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/s匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/s匀速运动,则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是()A.(2,0)B.(-1,1)C.(-2,1)D.(-1,-1)【解析】选B.由题意知,甲、乙第一次相遇时在点(-1,1),第二次相遇在点(-1,-1),第三次相遇在点(2,0),…,依此类推,可知甲、乙两物体每相遇三次是一个循环,因为2014÷3的余数为1,所以第2014次相遇时点的坐标为(-1,1).5.(2013·宁夏中考)点P(a，a-3)在第四象限，则a的取值范围是___________．【解析】∵点P(a，a-3)在第四象限，∴解得0＜a＜3．答案：0＜a＜3a0,a30＞＜，6.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为.【解析】∵点A，B的坐标分别为(-6，0)，(0，8)，∴AO=6，BO=8，∴∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC-AO=4，∵交x正半轴于点C，∴点C的坐标为(4，0).答案：(4，0)22ABAOBO10，7.如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称点P为和谐点.请写出一个和谐点的坐标.【解析】答案不唯一,如(2,2),(0,0)等.答案:(2,2)(答案不唯一)【变式备选】如果点P(x，y)的坐标满足那么称点P为分离点．请写出一个分离点的坐标________.【解析】答案不唯一，如(-4，2)，等.答案：(-4，2)(答案不唯一)xxyy，1(1)2，8.如果点A既在x轴的上方,又在y轴的右侧,且距离x轴、y轴分别为4个单位长度和2个单位长度,求点A的坐标.【解析】因为点A既在x轴的上方,又在y轴的右侧,所以点A在第一象限,即点A的横、纵坐标均为正数,点A到x轴的距离为4个单位长度,所以其纵坐标为4,点A到y轴的距离为2个单位长度,所以其横坐标为2,所以点A的坐标为(2,4).9.已知平面内点M(x，y)，若x，y满足下列条件，请说出点M的位置．(1)xy＜0.(2)x+y=0.(3)=0.【解析】(1)因为xy＜0，所以横、纵坐标异号，所以M点在第二或第四象限.(2)因为x+y=0，所以x,y互为相反数，点M在第二、四象限的角平分线上.(3)因为=0，所以点M在y轴上且原点除外．xyxy题组二:用方向和距离确定物体的位置1.芳芳放学从校门向东走400m,再往北走200m到家;丽丽出校门向东走200m到家,则丽丽家在芳芳家的()A.东南方向B.西南方向C.东北方向D.西北方向【解析】选B.根据题意,可画图如下:由图可知,丽丽家在芳芳家的西南方向.2.(2013·株洲中考)如图是株洲市的行政区域平面地图,下列关于方位的说法明显错误的是()A.炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上B.醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上C.株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上D.株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上【解析】选C.结合已知图可知,炎陵位于株洲市区南偏东若干度方向,醴陵位于攸县的北偏东若干度方向,株洲县位于茶陵的北偏西若干度方向,株洲市区位于攸县的北偏西若干度方向,明显错误的是C.3.如图所示,准确表示小岛A相对于灯塔O的位置是.【解析】由图可知,小岛A到灯塔O的距离为2km,且在灯塔O北偏东60°方向,用方位角距离定位法表示为小岛A在灯塔O北偏东60°,距离灯塔O2km处.答案:小岛A在灯塔O北偏东60°,距离灯塔O2km处4.如图，在一块草地上有三个目标A，B，C，已知C在A的正东4m处，B在C的正北4m处，那么B位于A的什么方向？距离是多少米？【解析】由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，且∠A=∠B=45°，AC方向为东西，BC方向为南北，由勾股定理可得所以B位于A的北偏东45°方向处.2222ABACBC4442m，42m【想一想错在哪？】已知点P到x轴的距离是2,到y轴的距离是1,求点P的坐标.提示:忽略了横、纵坐标的符号且颠倒了横、纵坐标的位置.