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2.5.2矩形的判定1.能判断一个四边形为矩形.(重点)2.会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.(重点、难点)1.如图,在平行四边形ABCD中,AC=BD,猜想四边形ABCD的形状.【思考】(1)△ABC与△DCB有怎样的关系?提示:全等(2)∠ABC,∠DCB的度数是多少?提示:∠ABC=∠DCB=90°.(3)由此可判定四边形ABCD是哪种特殊平行四边形?提示:矩形2.若一个四边形有三个内角是直角.【思考】(1)这个四边形的第四个角是什么角?提示:直角.(2)这个四边形的两组对角相等,它是什么四边形?提示:平行四边形.(3)这个四边形是矩形吗?理由是什么?提示:是.有一个角是直角的平行四边形是矩形.【总结】矩形的判定方法:(1)有一个角是_____的平行四边形是矩形.(2)对角线_____的平行四边形是矩形.(3)有三个角是_____的四边形是矩形.直角相等直角(打“√”或“×”)(1)有一个角是直角的四边形是矩形.()(2)对角线相等的四边形是矩形.()(3)四个角都相等的四边形是矩形.()(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.()××√√知识点1矩形判定定理的应用【例1】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,求证:四边形ADCE为矩形.【思路点拨】由AD⊥BC,CE⊥AN得∠ADC=∠AEC=90°,再推证∠DAE=90°,即可根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明.【自主解答】在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC,∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°,又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.12【总结提升】矩形的判定方法已有条件需要条件平行四边形有一个角是直角对角线相等一般四边形有三个角是直角对角线互相平分且相等知识点2矩形的性质和判定的综合应用【例2】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD,垂足为E.求证:BE=DE.【解题探究】(1)∠A与∠EBC有什么关系?为什么?提示:∠A=∠EBC.∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∴∠ABE+∠A=90°.又∵∠ABE+∠EBC=90°,∴∠A=∠EBC.(2)如图,作CF⊥BE于F,则△ABE与△BCF全等吗?为什么?提示:△ABE≌△BCF.∵∠A=∠FBC,∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,∴△ABE≌△BCF.(3)由(2)可知BE=CF.(4)CF与DE相等吗?为什么?提示:相等.∵在四边形FEDC中,∠BED=∠CFE=∠D=90°,∴四边形FEDC是矩形,∴CF=DE.(5)由以上探究可知___=CF,CF=DE,∴___=DE.BEBE【互动探究】在条件不变的情况下,AE,DE,CD三条线段之间有什么关系?提示:AE+CD=DE.【总结提升】矩形的性质应用及常见判定思路1.矩形的性质应用:矩形的性质较多,但不能混淆,平行四边形具有的性质矩形都具有,矩形的性质可证明线段相等或对角线互相平分、角相等、直线平行等.2.矩形的判定思路:(1)若给出的图形是一般的四边形,思路一:证明其三个角都是直角;思路二:先证明其为平行四边形,再证明其有一个角是直角或证明其对角线相等.(2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明其有一个角是直角或证明其对角线相等.题组一:矩形判定定理的应用1.下列关于矩形的说法中正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分【解析】选D.平行四边形的对角线互相平分,矩形是特殊的平行四边形,∴矩形的对角线互相平分.根据矩形的性质,又知矩形的对角线相等,∴矩形的对角线相等且互相平分.2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长应该为()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.假如平行四边形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB=2.3.在▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是()A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是矩形)可得DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形.矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD可证四边形ABCD为矩形.4.(2013·宿迁中考)如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α为度时,两条对角线长度相等.【解析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角可以得到∠α=90°.答案:905.(2013·南通中考)如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.【证明】∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,∴∠BAE=∠CAD.∵在△BAE和△CAD中，∴△BAE≌△CAD(SAS),∴∠BEA=∠CDA,BE=CD,∵DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形.AEADBAECADABAC，，，∵AE=AD,∴∠AED=∠ADE,∵∠BEA=∠CDA,∴∠BED=∠CDE,∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°,∴四边形BCDE是矩形.题组二：矩形的性质和判定的综合应用1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是()A23B33C4D43．．．．【解析】选A．∵DE是AC的垂直平分线，∴D是AC的中点，又∵F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C=90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴四边形BCDE的面积为AC23．BECD3．2323．2.在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,过D作DH⊥AB于H,则DH的长是()A.7.5B.7C.6.5D.5.5【解析】选A.过C作DH的垂线CE交DH于E,∵DH⊥AB,CB⊥AB,∴CB∥DH,又CE⊥DH,∴四边形BCEH是矩形.∴HE=BC=2,在Rt△AHD中,∠A=60°,∴∠ADH=30°,又∵∠ADC=90°,∴∠CDE=60°,∴∠DCE=30°,∴在Rt△CED中,DE=CD=5.5,∴DH=2+5.5=7.5.123.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是.【解析】∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,∴EH∥BD且EH=BD,FG∥BD且FG=BD,∴EH∥FG,EH=FG,同理EF∥HG,EF=HG,又∵AC⊥BD,∴四边形EFGH是矩形,∴四边形EFGH的面积=EF×EH=AC×BD=×8××6=12.答案:121212121212124.如图,AB∥CD,∠A=∠B=90°,AB=3cm,BC=2cm,则AB与CD之间的距离为cm.【解析】∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°,∵∠A=∠B=90°,∴∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD为矩形,∴AB与CD之间的距离为BC,∵BC=2cm,∴AB与CD之间的距离为2cm.答案:25.(2013·云南中考)已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.(1)求证:四边形ADBE是矩形.(2)求矩形ADBE的面积.【解析】(1)∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形，∴平行四边形ADBE是矩形.(2)∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在Rt△ACD中，AD=∴S矩形ADBE=BD·AD=3×4=12．122222ACDC534，【想一想错在哪？】已知:如图,▱ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.提示:一个角是90°的四边形不一定是矩形,还要说明它是平行四边形或还有另外两个角是直角.