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2.5矩形2.5.1矩形的性质1.了解矩形的定义,理解矩形与平行四边形的区别和联系.(重点)2.会用矩形的性质进行计算或证明.(重点、难点)3.掌握矩形的轴对称性和中心对称性.(重点)一、矩形的定义有一个角是_____的平行四边形.二、矩形的性质在矩形ABCD中,∠BAD=90°,对角线AC与BD相交于点O.直角【思考】(1)由∠BAD=90°，可以推出∠ABC，∠BCD，∠CDA的度数分别为多少？提示：因为矩形是特殊的平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.(2)对角线AC，BD有怎样的数量关系？为什么？提示：AC=BD.在△ABD和△DCA中∴△ABD≌△DCA，∴AC=BD.ADADBADCDA90ABCD，，【总结】矩形的性质:(1)矩形具有___________的一切性质.(2)矩形的四个角都是_____.(3)矩形的对角线_____.平行四边形直角相等三、矩形的对称性1.矩形是_________图形,对称中心是_____________.2.矩形是轴对称图形,有两条对称轴,它们是_______________的直线.中心对称对角线的交点过每组对边中点(打“√”或“×”)(1)矩形的邻角相等.()(2)矩形的对角线互相平分且相等.()(3)矩形的邻边相等.()(4)矩形是中心对称图形,但不是轴对称图形.()√√××知识点1矩形的性质应用【例1】(2013·宁夏中考)在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证:DF=DC.【思路点拨】连接DE,四边形ABCD是矩形,DF⊥AE→∠DEC=∠AED,∠DFE=∠C=90°→△DFE≌△DCE→结论.【自主解答】连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.【总结提升】矩形的性质的应用1.证明线段平行、相等或倍分关系.2.证明角相等或求角的度数.知识点2直角三角形斜边上的中线定理【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为.【思路点拨】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形;然后在Rt△ADC中,利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,求得AC的长;最后由等腰△ABC的两腰AB=AC,求得AB的长.【自主解答】∵在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∴△ADC是直角三角形.∵E是AC的中点,∴DE=AC(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),又∵DE=5,∴AC=2DE=10,∵AB=AC,∴AB=10.答案:1012【总结提升】直角三角形斜边上中线的性质及应用1.性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形.2.应用:(1)证明线段的平行、相等或倍分关系.(2)证明角相等.题组一:矩形的性质应用1.(2013·宜昌中考)如图,在矩形ABCD中,ABBC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是()A.8B.6C.4D.2【解析】选C.∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO,∴△ABO,△BCO,△DCO,△ADO都是等腰三角形.2.如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A.cmB.2cmC.cmD.4cm【解析】选D．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AC＝4cm．323123.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE的长为()A.3B.3.5C.2.5D.2.8【解析】选C.∵EO是AC的垂直平分线,∴AE=CE.设CE=x,则ED=AD-AE=4-x,在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2,即x2=22+(4-x)2,解得x=2.5,即CE的长为2.5.4.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点.如果AC=10，BC=8，那么EF的长为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.∵∠ABC=90°,∴AB=∴CD=AB=6,∵点E，F分别是OD，OC的中点,∴EF=3.2222ACBC1086,－－5.矩形ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,若AB=3,CE=6,则∠BEC=.【解析】如图所示:因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=45°,∠BEA=180°-∠A-∠ABE=45°,因为AB=3,所以CD=AB=3,又因为CE=6,所以∠CED=30°,所以∠BEC=180°-∠BEA-∠CED=180°-45°-30°=105°.答案:105°6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE.(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD,∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.(2)∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，∴∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，在Rt△BCD中，∴四边形ABED的面积=11CDBD8422，2222BCBDCD8443，148432432．7.如图,E,F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF.求证:BE=CF.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OB=OC=OD,AB=CD，∵AE=DF,∴OE=OF.在△BOE与△COF中，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF.OBOCBOECOFOEOF，，，题组二：直角三角形斜边上的中线定理1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是()A.20B.10C.5D.【解析】选C.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=5.52122.(2013·鄂州中考)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为cm.【解析】连接OP,∵△AOB是直角三角形,P为斜边AB的中点,∴OP=AB,∵AB=20cm,∴OP=10cm.答案:10123.如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为.【解析】∵DE为△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4.又∵∠AFB＝90°，点D为AB的中点，AB＝5，∴答案：553DF.EFDEDF4.222＝＝－＝＝324.如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是.【解析】∵BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,BC=8,∴在Rt△BCE中,EM=BC=4,在Rt△BCF中,FM=BC=4.又∵EF=5,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.答案:1312125.如图,已知△ABC和△ABD均为直角三角形,其中∠ACB=∠ADB=90°,E为AB的中点,求证:CE=DE.【证明】在Rt△ABC中,∵E为斜边AB的中点,∴CE=AB.在Rt△ABD中,∵E为斜边AB的中点,∴DE=AB,∴CE=DE.1212【想一想错在哪？】如图所示,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,且△AOB是等边三角形,边长为6,求这个平行四边形的面积.提示:观察图形时,误认为四边形为矩形而出现错误.