八年级数学下册 第2章 四边形2.4三角形的中位线习题课件 （新版）湘教版

2.4三角形的中位线1.掌握三角形的中位线定理.(重点)2.会应用三角形的中位线定理进行计算或证明.(重点、难点)1.三角形的中位线的定义:连接三角形两边_____的线段.2.三角形中位线定理的证明:如图,DE是△ABC的中位线,求证:DE∥BC,DE=BC.12中点证明：如图，延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(____)，∴AD=CF,DE=FE,∠ADE=∠F,∴AD∥CF,DE=DF.AEEC,AEDCEF,DEFE,SAS12又∵AD=DB,∴DBFC,∴四边形DBCF是___________,∴DE∥___，DE=DF=_____.平行四边形BC121BC2【总结】三角形的中位线定理:(1)位置关系:三角形的中位线_______第三边.(2)数量关系:三角形的中位线等于第三边的_____.平行于一半(打“√”或“×”)(1)三角形的中位线是直线.()(2)一个三角形只有一条中位线.()(3)一个三角形的周长是36,则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是18.()(4)DE是△ABC的中位线,如果DE=2,那么BC=4.()××√×知识点1三角形中位线定理的应用【例1】(2013·淄博中考)如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为()35ABC3D422．．．．【思路点拨】垂直平分线→PQ是△ADE的中位线→计算DE的长→求PQ的长【自主解答】选C.∵BQ平分∠ABC,BQ⊥AE,∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴点Q是AE中点,点P是AD中点(三线合一),∴PQ是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16,∴DE=BE+CD-BC=6,∴PQ=DE=3.12【总结提升】三角形的中位线定理的两个结论及四个应用1.两个结论:(1)中位线与第三边的位置关系——互相平行.(2)中位线与第三边的数量关系——中位线等于第三边的一半.2.四个应用:(1)求线段的长度.(2)证明线段相等或平行.(3)求角的度数.(4)证明线段的倍分关系.知识点2三角形中位线定理的实际应用【例2】(2013·宿迁中考)如图,为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=20m,则A,B之间的距离是m.【思路点拨】由C,D分别是边OA,OB的中点,首先判定CD是△AOB的中位线,然后根据三角形的中位线定理,由CD的长,求出A,B之间的距离.【自主解答】∵C,D分别是OA,OB的中点,∴CD是△AOB的中位线.∴AB=2CD=2×20=40m.∴A,B之间的距离是40m.答案:40【总结提升】三角形的中位线的实际应用三角形中位线的有关知识,常用来解决以测量距离为背景的题目,解题时常先把实际问题转化为数学问题,再分两步走:一定(依照三角形中位线定义,确定哪条线段是三角形的中位线);二算(根据三角形中位线定理,利用三角形的第三边是三角形中位线的2倍进行计算).题组一:三角形中位线定理的应用1.(2013·昆明中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【解析】选C.由题意得∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.2.(2013·铜仁中考)已知△ABC的各边长度分别为3cm,4cm,5cm,则连接各边中点的三角形的周长为()A.2cmB.7cmC.5cmD.6cm【解析】选D.由三角形的中位线定理可知,连接各边中点的三角形的周长为×(3+4+5)=6cm.12【归纳整合】三角形三条中位线的性质(1)任何一个三角形都有三条中位线.(2)三条中位线围成的三角形,其周长是原三角形周长的一半,面积为原三角形面积的四分之一.(3)三条中位线把原三角形分割成4个全等的小三角形,在原三角形中形成三个面积相等的平行四边形.3.如图,在▱ABCD中,AB=10,BC=6,E,F分别是AD,DC的中点,若EF=7,则四边形EACF的周长是()A.20B.22C.29D.31【解析】选C.由已知得AE=3,CF=5,AC=2EF=14,故四边形EACF的周长是29.4.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是边BC的中点,AB=4,则OE的长是()A.2B.C.1D.【解析】选A.在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,故O为AC的中点,又E是BC的中点,即OE是△ABC的中位线,所以OE=AB=2.122125.已知△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F为BC上一点,EF=BC,∠EFC=35°,则∠EDF=.【解析】因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,DE=BC,所以∠DEF=∠EFC=35°,因为EF=BC,所以ED=EF,所以∠EDF=∠EFD=×(180°-35°)=72.5°.答案:72.5°121212126.如图,已知E,F是四边形ABCD的边AD,BC的中点,G,H是BD,AC的中点.求证:EF和GH互相平分.【证明】连结EG,GF,FH,EH,因为E是AD的中点,G是BD的中点,所以EG􀱀AB,同理可证FH􀱀AB,所以EG􀱀FH,所以四边形EGFH是平行四边形,所以EF和GH互相平分.12127.已知,如图,在△ABC中,CF平分∠ACB,CA=CD,AE=EB,求证:EF=BD.【证明】∵CA=CD,CF平分∠ACB,∴AF=DF,∵AE=EB,∴EF为△ABD的中位线,∴EF=BD.1212题组二:三角形中位线定理的实际应用1.如图所示,吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5m,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是()A.15mB.20mC.25mD.30m【解析】选C.∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=5m,∴BC=2EF=10m,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴BE=CF=BC=5m,∴篱笆的长为BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(m).122.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石(图中阴影部分).其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是()1113A.B.C.D.4234【解析】选C.如图,∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,∴DF=BE=EC,EF=AD=BD,DE=AF=FC,∴△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED,∴S△BDE=S△DAF=S△EFC=S△FED.∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1∶3.故选C.3.如图是跷跷板示意图,横板AB绕中点O上下转动,立柱OC与地面垂直,设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A'B',且A'B'=2AB,O仍为A'B'的中点,设B'点的最大高度为h2,则下列结论正确的是()A.h2=2h1B.h2=1.5h1C.h2=h1D.h2=h112【解析】选C.如图所示:∵O为AB的中点,OC⊥AD,BD⊥AD,∴OC∥BD,∴OC是△ABD的中位线,∴h1=2OC,同理,当将横板AB换成横板A'B',且A'B'=2AB,O仍为A'B'的中点,h2=2OC,∴h1=h2.4.一天,小青在校园内发现:旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点.如果小青的身高为1.65m,由此可推断出树高是m.【解析】根据三角形的中位线定理,得树高是小青的身高的2倍,即3.3m.答案:3.3【想一想错在哪？】在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,D为AC的中点,E为BC的中点,则DE的长为.提示:题目中没有说明哪个角为直角,AB的值应该有两种可能.