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2.2.2平行四边形的判定(第2课时)1.熟记平行四边形的判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(重点)2.能根据平行四边形的判定定理3,判定一个四边形是否是平行四边形.(重点、难点)平行四边形的判定定理3如图,先将AC,BD的中点重合并钉好,然后再将另外四条木棒钉好.【思考】(1)图中△AOB与△COD全等吗?△AOD和△COB呢?提示:∵点O分别是AC,BD的中点,∴AO=CO,BO=DO,又∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD(SAS),同理△AOD≌△COB.(2)AB与CD,AD与BC有何位置关系?为什么?提示:由问题(1)知,△AOB≌△COD,∴∠BAO=∠DCO,∴由内错角相等,两直线平行,得AB∥CD,同理AD∥BC.(3)根据(2)可以得四边形ABCD是什么四边形?提示:由问题(2)知AB∥CD,BC∥DA,由平行四边形的定义得四边形ABCD是平行四边形.【总结】平行四边形的判定定理3:对角线_________的四边形是平行四边形.互相平分(打“√”或“×”)(1)对角线互相垂直的四边形是平行四边形.()(2)四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O,且AO=CO,则四边形ABCD是平行四边形.()(3)对角线相等的四边形是平行四边形.()(4)两组角相等的四边形是平行四边形.()××××知识点1平行四边形判定定理3的应用【例1】已知如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,并且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.【解题探究】(1)若利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形BFDE是平行四边形,需要作辅助线:连接BD交EF于点O.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=___,BO=___.因为AE=CF,所以AO-AE=CO-___,所以___=___.又BO=___,所以四边形BFDE是平行四边形.CODOCFEOFODO【互动探究】除了利用对角线互相平分外,还有其他方法吗?提示:利用三角形全等,得到等角,进一步得到BE∥DF,ED∥BF,由平行四边形的定义判定四边形BFDE是平行四边形.【总结提升】判定平行四边形的方法选择已知条件证明思路一组对边相等1.另一组对边也相等2.相等的边也平行一组对边平行1.另一组对边也平行2.平行的边也相等一组对角相等另一组对角也相等对角线相交对角线互相平分知识点2平行四边形的性质与判定的综合应用【例2】(2012·沈阳中考)已知,如图,在平行四边形ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.(1)求证:△AEM≌△CFN.(2)求证:四边形BMDN是平行四边形.【思路点拨】(1)▱ABCD→AD∥BC,∠DAB=∠BCD,∠E=∠F,∠EAM=∠FCN,AE=CF→△AEM≌△CFN.(2)▱ABCD→AB∥CD,AB=CD→BM∥DN,BM=DN→结论.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠BCD,∴∠EAM=∠FCN,∵AD∥BC,∴∠E=∠F,∵AE=CF,∴△AEM≌△CFN.(2)由(1)得AM=CN,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴BM∥DN,BM=DN,∴四边形BMDN是平行四边形.【总结提升】平行四边形性质与判定的应用1.利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题:(1)求线段的长,证明线段相等或平行,证明线段的倍分关系.(2)求角的度数,证明角相等或互补等.2.利用平行四边形的性质与判定解决问题时,有时需要先证一个四边形是平行四边形,再利用平行四边形的性质去解题.题组一:平行四边形判定定理3的应用1.如图所示,D,E分别在△ABC的边AB,AC上,F在DE延长线上,DE=EF,AE=EC,则四边形ADCF是,理由是.【解析】DF,AC是四边形ADCF的对角线,由对角线互相平分来判定四边形ADCF是平行四边形.答案:平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形2.已知:如图,把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB,求证:四边形ABDC是平行四边形.【证明】连接OA,OD,因为△DCB是由△ABC旋转180°所得,所以点A,D,点B,C分别关于点O成中心对称,所以OB=OC,OA=OD.所以四边形ABDC是平行四边形,(注:还可以利用旋转变换得到AB=CD,AC=BD;或通过证明△ABC≌△DCB来证四边形ABDC是平行四边形)3.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.(1)求证:△BDE≌△CDF.(2)请连接BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形,并说明理由.【解析】(1)因为CF∥BE,所以∠EBD=∠FCD,又因为∠BDE=∠CDF,BD=CD,所以△BDE≌△CDF.(2)四边形BECF是平行四边形.由△BDE≌△CDF,得ED=FD.又因为BD=CD,所以四边形BECF是平行四边形.4.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,BO=DO.求证:四边形ABCD是平行四边形.【证明】∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,在△ABO与△CDO中,∠ABO=∠CDO,BO=DO,∠AOB=∠DOC,∴△ABO≌△CDO,∴AO=CO,∴四边形ABCD是平行四边形.5.如图,在△ABC中,D是BC上的点,O是AD的中点,过A作BC的平行线交BO的延长线于点E,则四边形ABDE是什么四边形?并说明理由.【解析】四边形ABDE是平行四边形.理由:∵AE∥BC,∴∠EAO=∠BDO,∠AEO=∠DBO,∵O是AD的中点,∴AO=OD,在△AOE和△DOB中,∵∠EAO=∠BDO,∠AEO=∠DBO,AO=OD,∴△AOE≌△DOB,∴OB=OE,又∵AO=OD,∴四边形ABDE是平行四边形.题组二:平行四边形的性质与判定的综合应用1.已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC的方向平移到△A'B'C'的位置,使B'和C重合,连接AC'交A'C于D,则△C'DC的面积为()A.6B.9C.12D.18【解析】选D.连接AA',由平移的性质知,AC∥A'C',AC=A'C',所以四边形AA'C'C是平行四边形,所以点D是AC',A'C的中点,所以A'D=CD,所以S△C'DC=S△ABC=18.122.如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC,D是AB的中点,EC∥AB,DE∥BC,AC与DE交于点O.下列结论中,不一定成立的是()A.AC=DEB.AB=ACC.AD=ECD.OA=OE【解析】选B.∵EC∥AB,DE∥BC,∴四边形BDEC是平行四边形,∴BD=CE,∠B=∠E.又∵∠ABC=∠BAC,∴∠CEO=∠DAO.又∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=CE,∴△AOD≌△EOC,∴OA=OE.∵BC=DE,BC=AC,∴AC=DE.而AB=AC无法证得.3.如图,AB∥DC,AD∥BC,若∠A=35°,则∠C=.【解析】∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A=35°.答案:35°4.如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且BE∥DF,若∠EBF=45°,则∠EDF的度数是度.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.又∵BE∥DF,∴四边形BFDE是平行四边形,∴∠EDF=∠EBF=45°.答案:455.已知:如图,在▱ABCD中,点E在AD上,连接BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE交于点M,CE与DF交于点N.求证:四边形MFNE是平行四边形.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.又∵DF∥BE,∴四边形BEDF是平行四边形.∴DE=BF.∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形.∴MF∥NE,∴四边形MFNE是平行四边形.【想一想错在哪？】如图,在平行四边形ABCD中,AC交BD于点O,点E,点F分别是OA,OC的中点,请判断线段BE,DF的关系,并说明你的结论.提示:线段BE,DF的关系包括位置关系和数量关系,本题只说明了位置关系,遗漏数量关系BE=DF.