八年级数学下册 第1章 直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件 （新版）湘教版

1.3直角三角形全等的判定1.掌握“HL”定理,会用“HL”定理判定两个直角三角形全等.(重点)2.会选用合适的方法判定两个直角三角形全等.(难点)斜边、直角边定理如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE,BC=EF.【思考】(1)AC与DF相等吗?为什么?提示:AC=DF.理由如下:∵∠A=∠D=90°,根据勾股定理得AB2+AC2=BC2,DE2+DF2=EF2,又∵AB=DE,BC=EF,∴AC=DF.(2)△ABC与△DEF全等吗?为什么?提示:全等.∵AB=DE,BC=EF,AC=DF.∴△ABC≌△DEF(SSS).【总结】斜边、直角边定理:_____和一条_______对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“_____________”或“___”).斜边直角边斜边、直角边HL(打“√”或“×”)(1)“HL”定理适合所有三角形全等的判定.()(2)判定两个直角三角形全等只能用“HL”定理.()(3)有两条边对应相等的三角形全等.()(4)一条直角边和一个锐角对应相等的三角形全等.()×××√知识点1应用“HL”证明直角三角形全等【例1】如图,在△ABC中,∠B=90°,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,DE=DC,那么BE=CF吗?请说明理由.【思路点拨】先下结论BE=CF,再说明理由:先证∠BAD=∠CAD,∠B=∠AFD,得出△ABD≌△AFD,BD=FD,再证Rt△EBD≌Rt△CFD,证得BE=CF.【自主解答】BE=CF.理由如下：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°.又∠B=90°，∴∠B=∠AFD.在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD(AAS),∴BD=FD.BADFADBAFDADAD.，，在Rt△EBD和Rt△CFD中，∴Rt△EBD≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.DEDCBDFD.，【总结提升】应用“HL”应注意的三个问题1.“HL”是判定两个直角三角形全等的方法,对于一般的三角形不成立,在使用时一定要注意其应用的范围.2.在书写格式上,三角形的前面必须注明“Rt”.3.在题设中,没有指明但又是直角三角形的,必须依照定义说明或推证是直角三角形,否则不能直接应用“HL”.知识点2选定合适方法判定直角三角形全等【例2】(2013·荆门中考)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE.(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.【思路点拨】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BDE=∠CDE,然后利用“边角边”证明△BDE和△CDE全等即可.(2)先判定△ABF为等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.【自主解答】(1)∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BDE=∠CDE=90°，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE(SAS)，∴BE=CE.BDCDBDECDEDEDE，，，(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF(ASA)．EAFCBF,AFBF,AFEBFC90,【总结提升】判定直角三角形全等的方法选择已知条件判定方法两直角边SAS斜边与一条直角边HL一锐角与斜边AAS一锐角与一条直角边ASA或AAS题组一:应用“HL”证明直角三角形全等1.如图,四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为()A.145°B.130°C.110°D.70°【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴在Rt△ABC与Rt△ADC中,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,又∠BAC=35°,∴∠ACD=∠ACB=55°,∴∠BCD=110°.2.如图,AD=BC,∠C=∠D=90°,下列结论中不成立的是()A.∠DAE=∠CBEB.CE=DEC.△DAE与△CBE不一定全等D.∠1=∠2【解析】选C.∵AD=BC,∠C=∠D=90°,∠DEA=∠CEB,∴△DAE≌△CBE(C选项不正确),∴∠DAE=∠CBE(A选项正确),CE=DE(B选项正确),∵AD=BC,∠C=∠D=90°,AB=BA,∴△ABC≌△BAD.∴∠1=∠2(D选项正确).3.如图,长方形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中全等的直角三角形共有()A.3对B.4对C.5对D.6对【解析】选B.图中全等的直角三角形有:△AED≌△FEC,△BDC≌△FDC≌△DBA,共4对.【变式训练】如图,AC,BD是长方形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.与△ABC全等的三角形为△ADC,△BAD,△DCB,△DCE共4个.4.如图,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要说明△ABC≌△EDC,若以“SAS”为依据,还要添加的条件为;若添加条件AC=EC,则可以用判定全等.【解析】∵AB⊥BD,AB∥ED,∴ED⊥BD,∴∠B=∠D=90°;①又∵AB=ED,∴在△ABC和△EDC中,当BC=DC时,△ABC≌△EDC(SAS);②在Rt△ABC和Rt△EDC中,AB=ED,AC=EC,由“HL”定理可得Rt△ABC≌Rt△EDC(HL).答案:BC=DCHL5.如图,△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于D,点E在AD上,且BE=AC,求证:DE=CD.【证明】∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴AD=BD,∠BDE=∠ADC=90°.又∵BE=AC,∴△BDE≌△ADC(HL).∴DE=CD.6.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线,交AC于点E.求证:AE=ED.【证明】连接BE，∵DE为BC的垂线，∴∠BDE=90°.∴∠BDE=∠A.在Rt△BDE和Rt△BAE中，∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)，∴AE=ED.BEBE,BDBA，题组二:选定合适方法判定直角三角形全等1.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F.若AB=4,则四边形AFCE的面积是()A.4B.8C.16D.无法计算【解析】选C.∵∠EAD+∠BAE=90°，∠FAB+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD.∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABF=90°.在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(ASA)，∴四边形AFCE的面积与正方形ABCD的面积相等，∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝AB2＝16.FABEADABADABFD，，，2.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1),∠A=∠D(ASA).(2)AC=DF,(SAS).(3)AB=DE,BC=EF().(4)AC=DF,(HL).(5)∠A=∠D,BC=EF().(6),AC=DF(AAS).【解析】要利用题中的“直角三角形有一个角是直角”的条件,找准对应元素及三角形全等的判定方法.答案:(1)AC=DF(2)CB=FE(3)HL(4)AB=DE(5)AAS(6)∠B=∠E3.(2013·绥化中考)如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件,使得△EAB≌△BCD.【解析】∵∠A=∠C=90°,AB=CD,∴若利用“SAS”,可添加AE=CB,若利用“HL”,可添加EB=BD,若利用“ASA”或“AAS”,可添加∠EBD=90°,若添加∠E=∠DBC,可利用“AAS”证明.综上所述,可添加的条件为AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等).答案:AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等,答案不唯一)【高手支招】在解决开放性探究问题时,首先从题中找到已知条件、隐含条件和可证出的条件,然后再利用三角形全等的判定条件来寻找缺少的条件.4.(2013·陕西中考)如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线l经过点O,分别过A,B两点作AC⊥l交l于点C,BD⊥l交l于点D.求证:AC=OD.【证明】∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,∵AC⊥l,BD⊥l,∴∠ACO=∠BDO=90°,∴∠A+∠AOC=90°,∴∠A=∠BOD,在△AOC和△OBD中,∠A=∠BOD,∠ACO=∠BDO=90°,OA=OB,∴△AOC≌△OBD(AAS),∴AC=OD.5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.(2)若∠CAE=30°,∠BAC=45°,求∠ACF的度数.【解析】(1)∵∠ABC=90°，∴△ABE和△CBF均为直角三角形，在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BAE=∠BCF，又∵∠CAE=30°,∠BAC=45°，∴∠BAE=15°,∴∠BCF=15°，又∠ABC=90°，AB=CB，∴∠ACB=45°,∴∠ACF=45°+15°=60°.AECFABCB，，【想一想错在哪？】两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由.提示：此题没考虑一个三角形是锐角三角形，而另一个三角形为钝角三角形的情况.