八年级数学下册 第1章 直角三角形1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）第1课时习题课件 （新版）湘教

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时1.掌握勾股定理,知道直角三角形三边之间的关系.2.会运用勾股定理进行有关计算.(重点、难点)一、勾股定理1.借助方格纸画一个直角三角形,使其两直角边分别是3cm,4cm,通过测量,其斜边为__cm.2.如图,四边形均是正方形(小正方形网格边长均为1),SA=___,SB=__,SC=25,则它们的面积之间满足:________.5169SA+SB=SC【总结】勾股定理:直角三角形两直角边a,b的_______,等于斜边c的_____,即________.平方和平方a2+b2=c2二、勾股定理的拼图验证如图,将4个非等腰的直角三角形拼成一个大的正方形.1.拼得大正方形的边长为____,则它的面积是:______;大正方形的面积还可以表示为__+4×_____.2.由它们的面积关系可得______=__+4×_____,整理得________.1ab21ab2a+b(a+b)2c2(a+b)2c2a2+b2=c2(打“√”或“×”)(1)一个直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为5.()(2)如果△ABC中,∠C=90°,那么AB2+BC2=AC2.()(3)勾股定理适用于任意的直角三角形.()(4)在直角三角形中,任意两边的平方和等于第三边的平方.()××√×知识点1勾股定理的证明【例1】利用四个如图1所示的直角三角形,拼出如图2所示的图形,验证勾股定理.【思路点拨】利用图形间的数量关系“大正方形面积=四个直角三角形面积+小正方形面积”来验证.【自主解答】如题干图所示,在图2中,利用图1边长为a,b,c的四个直角三角形拼成一个以c为边长的正方形,则图2中的小正方形的边长为(b-a),面积为(b-a)2,四个直角三角形的面积为4×ab=2ab.由图2可知,大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积,即c2=(b-a)2+2ab,则a2+b2=c2问题得证.12【总结提升】勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明,也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用面积方法证明.知识点2勾股定理的应用【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,AC=2.1,AB=3.5.求:(1)BC的长.(2)△ABC的面积.(3)斜边AB上的高CD的长.(4)斜边被分成的两部分AD和BD的长.【思路点拨】(1)勾股定理→BC2=AB2-AC2→BC.(2)两直角边的积的一半→△ABC的面积.(3)△ABC面积的两种表示方法→AC×BC=AB×CD→CD.(4)勾股定理→AD2=AC2-CD2→BD=AB-AD.1212【自主解答】(1)BC2=AB2-AC2=3.52-2.12=2.82,所以BC=2.8.(2)S△ABC=AC×BC=×2.1×2.8=2.94.(3)由三角形的面积公式得AC×BC=AB×CD,所以×2.1×2.8=×3.5×CD,解得CD=1.68.121212121212(4)在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=(2.1+1.68)(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21,所以AD=2×3×0.21=1.26.所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.【总结提升】运用勾股定理求解线段长度问题的“四步法”1.找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形.2.定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系.3.计算:根据勾股定理计算相关线段的平方.4.求值:估算所求数值是哪个数的平方,然后确定线段长度.知识点3利用勾股定理解决实际问题【例3】如图,在公路AB旁有一座山,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A距离为300m,与公路上另一停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C周围半径250m范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?【思路点拨】要判断公路AB段是否需要封锁→需要计算点C到AB的距离与250m的大小关系→借助勾股定理和三角形的面积计算点C到AB的距离.【自主解答】过点C作CD⊥AB于D.因为BC=400m,AC=300m,∠ACB=90°,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即3002+4002=AB2,所以AB=500m.由三角形的面积可知:AB·CD=BC·AC,所以500·CD=400×300,所以CD=240m.因为240250,即点C到AB的距离小于250m,所以有危险,公路AB段需要暂时封锁.1212【总结提升】应用勾股定理解决实际问题的步骤1.读懂题意,建立数学模型.2.分析数量关系,数形结合,正确标图,将已知条件体现到图形中,充分利用图形的功能和性质.3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解.4.解决实际问题.题组一:勾股定理的证明1.历史上对勾股定理的一种证法采用了右面图形:其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上,证明中用到的面积相等关系是()A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD【解析】选D.由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD,可知ab+c2+ab=(a+b)2,所以c2+2ab=a2+2ab+b2,整理得a2+b2=c2,所以证明中用到的面积相等关系是:S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD.121212122.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为()A.90B.100C.110D.121【解析】选C.延长AB与KL相交于N,延长AC与ML相交于Q,根据勾股定理中的赵爽弦图知:△ABC≌△QCG≌△LGF≌△NFB,根据全等三角形对应边相等,得ML=3+4+4=11,KL=3+4+3=10,所以矩形KLMJ的面积为110.3.如图,将Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE,连接BE,延长DE,BC相交于点F,则有∠BFE=90°,且四边形ACFD是一个正方形.(1)判断△ABE的形状,并说出理由.(2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积.(3)说明:a2+b2=c2.【解析】(1)△ABE是等腰直角三角形.理由:因为Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE,所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°,又因为AB=AE,所以△ABE是等腰直角三角形.(2)因为四边形ABFE的面积等于正方形ACFD的面积,所以四边形ABFE的面积等于b2.(3)因为S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE,即:b2=c2+(b+a)(b-a),整理:2b2=c2+(b+a)(b-a),所以a2+b2=c2.1212题组二:勾股定理的应用1.(2013·佛山中考)如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m)()A.34.64mB.34.6mC.28.3mD.17.3m【解析】选B．∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，∴22BCABAC1600400120020334.6m.2.(2013·滨州中考)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为_______．【解析】在△ABC中，∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴AC=答案：2222ABBC7526.－－263.(2013·张家界中考)如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=______.2；3；【解析】由勾股定理可得：OP1=OP2=OP3=2=…，所以OP2012=答案：2；3，4，2013.20134.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为.【解析】如图,因为a,b,c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=90°.∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,即∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CED=90°,AC=CD,∴△ACB≌△CDE,∴AB=CE,BC=ED.在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,即Sb=Sa+Sc=5+11=16.答案:165.小明将一副三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,求AC的长.【解析】∵BD＝CD＝2，∴BC＝∴设AB＝x，则AC＝2x，∴222222，222x222x＋＝，2646xAC2AB33＝，＝＝．题组三:利用勾股定理解决实际问题1.(2013·济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m【解析】选D.如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8m,设AE=xm,则AB=xm,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.2.如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A.在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,若在AB间建一直水管,则水管的长为()A.45mB.40mC.50mD.56m【解析】选B.由题意知△AOB为直角三角形,因为OA=32m,OB=24m,所以AB==40(m).2222AOBO32243.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,他搬来了一架高为2.5m的梯子,要想把拉花挂在高2.4m的墙上,小虎应把梯子的底端放在距离墙m处.【解析】由勾股定理得，梯子的底端到墙的距离为=0.7(m).答案：0.7222.52.44.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水中实际游了520m,则该河流的宽度为m.【解析】由勾股定理得，AB==480(m).答案：4802222ACBC520200－－5.如图,在一个高为6m,长为10m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少为多少米?【解析】在Rt△ABC中,AB2=AC2-BC2=102-62=82,所以AB=8m,则AB+BC=8+6=14(m),所以地毯的长度至少为14m.【想一想错在哪？】已知直角三角形的两条边长分别为5和12,则其第三条边的长为.提示:长度分别为5和12的两条边不一定都是直角边,应分两种情况讨论!