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15.4角的平分线第2课时角平分线的性质第十五章★什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？BOAC２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．21如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.我们来证明这个结论.由此得到角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.（要求：各小组长组织好本组成员对合作探究部分先进行讨论）合作探究要求：⑴展示的同学要注意解题格式，书写要认真、规范；点评的同学要分析题意，条理清晰。⑵非展示、点评同学、小组继续讨论解决组内疑惑、对展示点评进行质疑。交流内容展示小组点评小组合作交流118合作交流227合作交流336只当观众的人永远领不到金牌合作交流1展示小组点评小组18探讨△ABC的三条角平分线的交点与三边的距离关系,并说明理由。合作交流2展示小组点评小组36如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CFEDCAFB如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。OCDBEPA角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE从这节课中你有哪些收获？