用数学建模方法解决哥尼斯堡七桥问题

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜用数学建模方法解决哥尼斯堡七桥问题篇一：哥尼斯堡七桥问题教学实录“哥尼斯堡七桥问题”教学实录一、创设情境，激趣引思1.故事引入师：这节课，我们先来听一个数学小故事吧。（课件播放，如图1，教师相机板书课题）师：这个问题困扰了当地居民很长时[司，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过—年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。(教师板书：一笔画)2．释疑。师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？(教师请一个学生上台画图说明)师：（利用课件动态演示）像长方形、正方形、三角形等都能够一笔画出。（并结合长方形介绍：两条线相交的点，叫做交点。如图2）交点师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜点复杂。我们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。二、自主探究，合作交流交点(—)探究活动一。1．探究。图2师：下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看活动要求。(课件出示记录单和活动要求)活动要求：（1）)试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，并在相应的口里打“√”。（2）对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。(学生探究，教师巡视指导)2．交流。师：很多小组都已经有答案了，谁来汇报一下你们探究的结果？生1：1号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。师：谁听懂了他的意思？生2：他是说1号图中的三个“口”没有连通起来。师：是啊，像1号图这样，各个部分没有连通起来，就不可能一笔画出。这说明要能够一笔画出，它各个部分之间必须是连通的。画出。(板书：必须是连通图)接下来，谁继续汇报?精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜生3：2号图是可以一笔画出的。师：是吗？你能到黑板上画一下吗?(学生上台画图，教师提示他在起点处标上字母“A”，如图3)图3师：很好！他刚才是从A点出发，一笔画出了这个平行四边形。那么，只能从A点出发吗？生4：从其他交点出发也可以。(大家纷纷赞同)师：你们都实验过吗？的确，这个平行四边形无论从哪个交点出发，都可以一笔画出来。那么3号图可以一笔画出来吗?生5：可以的。(教师请生5上台画图，教师给生5画的图各交点标上字母，如图4)师：真厉害，他的确是一笔画出的。我发现他是从E点出发画的。那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗？B生6：我还可以从F点出发，也可以一笔画出。F师：还有其他画法吗?生7：我还可以从A点出发。(教师请生7上台画，生7尝试了多种路径，均未成功)师：(摸着生7的头)我很佩服他，虽然他最后没有成功，但是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从A点出发不可以，还精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜有哪些点也会出现这样的状况呢?生8：我认为，从B、C、D点出发也是不能一笔画成的，因为它们和A点所处的位置是相似的。师：很好，你真是善于观察！那你们有没有想过，虽然2号图和3号图都能一笔画成，但是2号图可以从任意一点出发，而3号图只能从E点和F点出发才可以一笔画出，这里面有没有什么奥秘呢?（学生陷入沉思。片刻之后，渐渐地有几只小手举起来）生9：因为那个”日”字形状的图形里面多了一横。师：(装糊涂)什么意思？你能具体解释一下吗?生9：就是说本来画那个“日”字周围边框的时候，是可以一笔成功的：但是中间多了那个一横，就必须从这一横出发才可以成功。师：你很有数学家的潜质！你的发现对我们接下来的研究意义重大。大数学家欧拉就是这样发现规律的，连通图能否一笔画出。与图中各个交点的连线条数有关。(二)探究活动二：1．介绍。师：（出示课件，如图5）像下面的A点和B点，连线条数是1、3、5、7等奇数的点，叫作奇点；像下面的C点和D点，连线条数是2、4、6、8等偶数的点，叫作偶点。D奇点偶点2．研究。精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜师：大家回过头来观察2号、3号图形，看看各点的情况。生：2号图形全部是偶点：师：欧拉发现，像三号图中全是偶点，不仅可以一笔画，而且沿着任意一点都可以画出。这里的“任意”是什么意思?生：就是随便从哪个点出发都可以。师：是的，例如我们很多人都会画的五角星图案(课件出示图6)，它的各交点也都是偶点，所以也可以从任意一点出发一笔画出：你们不妨试一试。（学生尝试）师：那3号图形呢?生：它有两个交点的连线条数是3，其余各交点都是偶点。师：3号图形中只有两个奇点，其他都是偶点，欧拉发现这样的图形虽然能够一笔画出，但是——生：必须，从奇点出发。师：你和欧拉真是心有灵犀！的确必须从奇点出发。那么大家看，这个图形能不能一笔画出呢？（课件出示图7）生：它也可以一笔画出，但是必须从那两个奇点出发才行。师：你们都能学以致用了，真好!（三）思维训练，学以致用。师：下面我们来轻松一下，玩一次智慧大闯关好不好？1．夺宝小奇兵：藏宝庄园里有10个百宝箱（如图8)，每次可以打开宝盒取精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜宝1个。但是不能走重复路线，否则就会触动机关取宝失败。现在蚂蚁宝宝和贝贝站在不同的起点准备出发了，你认为谁能全部取宝成功?为什么?2、小设计师。（如图9)小朋友，妙妙游乐园即将开放了。要让游客一次不重复地沿着路线走，游完每一个游乐项目，游乐场的出口和入口应该设在A、B、C哪两个点上?3．生活中的应用。以游乐园出口和入口的设置以及快递叔叔送快件的例子，说明一笔画能够解决生活中的实际问题。（四）探究活动三。师：那么，是不是所有的连通图都能一笔画呢？我们继续探究。请大家看这幅图(课件出示图10)，数一数，标出它的奇点和偶点，并判断它能否一笔画出。生：我试了好多次，它不能一笔画出。师：其他同学有没有不同的看法？生：我也试了很多次，不能一笔画出。我猜想可能和它的奇点多了有关系。师：你很善于推理，欧拉花了一年多时间发现的秘密，你们居然图10很快能领悟。欧拉发现，连通图中，如果奇点超过了2个，精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜它就不能一笔画出了。三、文化渗透，深刻理解师：现在我们回到之前的“哥尼斯堡七桥问题”，它跟一笔画知识有什么关系呢?让我们来了解一下。(教师利用课件动态演示由“七桥图”变成“抽象图”的过程，如图11)师：欧拉认为：能否一次不重复地走过这七座桥，与桥的长短、岛的大小无关，所以岛和岸都可以看作一个点，而桥可以看作连接这些点的线。所以他将七桥问题抽象成这样的一笔画图形。现在你能用今天学到的知识来解释为什么不能不重复地一次走遍这七座桥吗？生：因为把它变成这样的图形后，这个连通图中有4个奇点，就不可能一笔画出了。师：是啊，就在“山重水复疑无路”的时候，欧拉是怎样实现“柳暗花明又一村”的？生：他将复杂的问题简单化了。师：的确，欧拉是将这个问题转化成了一笔画问题。（板书：转化）转化是我们学习数学的一个好方法。（利用课件介绍欧拉生平，如图12）师：想想看，欧拉能够发现这一重要规律，是因为他很幸运吗？还是有别的原因？生：我认为他很执着，坚持不懈，并用科学的方法找到结果。精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜师：是啊，这里面有他对真理的执着追求，更有化难为易的“转化”思想。师：今天我们只是初步了解了一笔画知识，以后我们升人七年级还将继续深篇二：关于哥尼斯堡七桥问题的综述关于哥尼斯堡七桥问题的综述学生姓名：赵锋学生学号：090741132联系方式：13662061508摘要：随着科学技术的不断发展，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、运筹学、遗传学、管理学、经济学、社会学等各门学科中，而且延伸出了超图理论、代数图论、随机图论、网络图论等分支，大大丰富了图论学科内容，促进了图论研究和应用。由于计算机科学技术的飞速发展和网络技术的广泛应用，图论作为计算机网络科学研究的基本工具和理论基础，会越来越受到人们的重视，不断推动图论学科继续向前蓬勃发展。本文通过阅读大量文献，总结出了图论的来源、应用及其未来的发展趋势。关键词：哥尼斯堡七桥、图论、一笔画关于哥尼斯堡七桥问题的综述引言经典问题往往以深入浅出的形式表达学科深奥的科学规律和本质内容，在学科研究中常常用来辅助说明思想、原理、方法精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜和技术。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）于1736年发表了论文《与位置几何有关的一个问题的解》，文中提出并解决了七桥问题，为图论的形成奠定了基础。今天，图论已广泛应用在计算机学科、运筹学、控制论、信息论等学科中，成为对现实世界进行抽象的一个强有力的数学工具。一、哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡就是现在的俄罗斯的加里宁格勒。哥尼斯堡在第二次世界大战前属于德国，是东普鲁士的首府，在历史上，哥尼斯堡的归属曾发生过几次变化。二战结束后，根据雅尔塔和波斯坦协议，东普鲁士部分领土划归苏联，是苏联作为战胜国享受的战利品。苏联把哥尼斯堡更名为加里宁格勒，斯大林没有把加里宁格勒划入刚刚并如苏联的立陶宛，而是划入俄罗斯联邦。加里宁格勒风景秀丽，气候宜人这里有着丰富的自然资源，是重要的军事基地，也是重要的海运港口。1991年苏联解体，波罗的海周边三国的立陶宛，拉脱维亚和爱沙尼亚独立，加里宁格勒就变成了俄罗斯的一块飞地。普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城。普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，人们在河上建起了七座桥，使这里成为风景优美的人间仙境，如图1所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有知名的教堂，有大哲学精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常到河岸和上桥散步。在十八世纪初，有一天，有人突发奇想：如何才能走过七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？当地的人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，然而却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题的由来。二、相应理论的开创——图论通过数学建模，已经把实际问题转化成了数学问题。这时欧拉注意到，如果一个图形能一笔画成那么除去起点和终点外，其他的点都是经过点。而经过点是有进有出的点，即有一条线进这个点，就一定有一条线出这个点，不可能有进无出，如果有进无出，它就是终点；也不可能有出无进，如果有出无进它就是起点。因此，在经过点进出的线总数应该是偶数。我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶点；总数为奇数的点称为奇点。如果起点和终点是同一个点，那么它也属于有进有出的点，它也是偶点这样图上的点全是偶点。如果起点和终点不是同一个点，那么它们必定是奇点。因此，能够一笔画的图形最多只有两个奇点年欧拉证明了自己的猜想，一次不重复。1936年，欧拉证明了自己的猜想，一次不重复走完七座桥是根本不可能的。随即他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完，必须符合以下两个条件：精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜（1）图形是封闭连通的；（2）图形中的奇点个数为0或1；七桥问题中的四个点全是奇点（如图2），当然不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥。一般地说如果图中的点全是偶点，那么可以任意选择一个点作为起点，当然终点与起点重合能一笔画成，如果图中有两个奇点，那么可以任意选一个奇点作为起点，另一个奇点为终点可以一笔画成。欧拉的这个研究成果，开创了图论这门新的学科，这门学科在计算机科学中有着广泛的应用。三、图论的应用1、一个部门中有25人，由于纠纷而使得关系十分紧张，是否可便每个人与5个人相处融洽？这看起来是社会学领域的间题，我们可以尝试多种方法，而其中的一种方法就是将其化为图。建立一个图的模型，最基本的问题是如何描述它—什么是结点，什么是边？在本问题中，没有太多的选择，只有人和纠纷。