2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第6节 二元一次不等式（组）与简单的线

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第6节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课程标准考情索引核心素养1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2019·全国卷Ⅱ，T132019·北京卷，T52019·天津卷，T22018·全国卷Ⅰ，T132018·全国卷Ⅱ，T141.数学建模2.数学运算3.直观想象1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0不包括边界直线Ax＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.3．线性规划中的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．画二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)．2．判定二元一次不等式表示的区域．(1)若B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能不是唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()解析：(1)不等式x－y＋1＞0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方．(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是zb.答案：(1)×(2)√(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)不等式组x－3y＋6＜0，x－y＋2≥0，表示的平面区域是()解析：x－3y＋6＜0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.答案：C3．(人A必修5·习题改编)已知x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是()A．3，－3B．2，－4C．4，－2D．4，－4解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C12，12，画直线l0：y＝－2x，平移l0过点B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.答案：C[典题体验]4．(2020·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy中，不等式组1≤x＋y≤3，－1≤x－y≤1表示图形的面积等于()A．1B．2C．3D．4解析：不等式组对应的平面区域如图所示，即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长AD＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2.答案：B5．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．解析：作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由x＋y－3＝0，2x＋3y－6＝0，解得x＝3，y＝0，则点C的坐标为(3，0)．所以zmax＝3×3－0＝9.答案：96．已知x，y满足x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1.答案：－1考点1不等式(组)表示平面区域(自主演练)1．(2020·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0表示的平面区域的面积是()A.32B.3C.2D．23解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3，故选B.答案：B2．已知不等式组y≤－x＋2，y≤kx－1，y≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k的值为()A．－1B．－12C.12D．1解析：由题意知k0，且不等式组y≤－x＋2，y≤kx－1，y≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y＝kx－1与x轴的交点为1k，0，直线y＝－x＋2与x轴的交点为(2，0)，直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为3k＋1，2k－1k＋1，所以三角形的面积为12×2－1k×2k－1k＋1＝14，解得k＝1或k＝27，经检验，k＝27不符合题意，所以k＝1.故选D.答案：D3．(2020·天津河西区检测)已知直线y＝kx－3经过不等式组x＋y－2≥0，2x－y≤4，y≤4所表示的平面区域，则实数k的取值范围是()A.－72，32B.－∞，－72∪32，＋∞C.－72，74D.－∞，－72∪74，＋∞解析：画出不等式组x＋y－2≥0，2x－y≤4，y≤4所表示的平面区域，如图所示，直线y＝kx－3过定点M(0，－3)，由y＝4，x＋y－2＝0，解得A(－2，4)，当直线y＝kx－3过点A时，k＝－3－40－（－2）＝－72；由2x－y＝4，x＋y－2＝0，解得B(2，0)，当直线y＝kx－3过点B时，k＝－3－00－2＝32.由图形知，实数k的取值范围是－∞，－72∪32，＋∞.答案：B1．二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．2．(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．考点2线性规划中的最值问题(多维探究)角度求线性目标函数的最值[典例1](2019·浙江卷)若实数x，y满足约束条件x－3y＋4≥0，3x－y－4≤0，x＋y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1B．1C．10D．12解析：如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1，1)，B(1，－1)，C(2，2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－32x并平移，当直线y＝－32x＋z2过点C(2，2)时，直线在y轴上的截距最大．所以zmax＝3×2＋2×2＝10.答案：C角度非线性目标函数的最值[典例2]若x，y满足约束条件x－y＋2≥0，2y－1≥0，x－1≤0，则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()A.12B.14C．－12D．－34解析：画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去1.观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为12，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝14－1＝－34.答案：D角度求参数值或取值范围[典例3](2020·惠州调研)已知实数x，y满足：x＋3y＋5≥0，x＋y－1≤0，x＋a≥0，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，a－53时，z取得最小值－4，所以－a＋2·a－53＝－4，解得a＝2.答案：B1．先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．目标函数的最值一般在平面区域的顶点或边界处取得．2．当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题．常见代数式的几何意义：(1)x2＋y2表示点(x，y)到原点(0，0)的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)到点(a，b)的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．3．当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．1．(角度1)(2019·天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2B．3C．5D．6解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．因为z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，所以作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1，1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.答案：C2．(角度2)已知实数x，y满足x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1，则z＝yx＋2的取值范围是________．解析：不等式组x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1，2)，C1，72，D(2，3)，yx＋2的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点(－2，0)连线的斜率．记P(－2，0)，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为23，直线PC的斜率为76.由几何直观，z＝yx＋2的取值范围是23，76.答案：23，763．(角度3)(2020·西安质检)已知实数x，y满足约束条件y≥0，y－x＋1≤0，y－2x＋4≥0.若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为()A．2B．1C．1或2D．－1解析：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a＞0.①当直线y＝ax＋z与直线AC重合，即a＝1时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y＝ax＋z与直线BC重合时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，不符合条件，故a＝1.答案：B考点3实际生活中的线性规划问题[典例]某企业生产甲、乙两种产品，均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()项目甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，将目标函数z＝3x＋4y化为y＝－34x＋z4，作出直线y＝－34x，即3x＋4y＝0，可得目标函数在点A处取到最大值．由x＋2y＝8，3x＋2y＝12，得A(2，3)．则zmax