2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第2节命题及其关系、充分条件与必要条件课程标准考情索引核心素养1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.2019·全国卷Ⅱ，T72018·浙江卷，T62018·北京卷，T62017·全国卷Ⅰ，T31.逻辑推理2.数学运算1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题和特称命题形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．3．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若已知p：x1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()解析：(1)(3)(4)均正确，(2)错，“长方形的对角线相等”是全称命题．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A必修第一册·习题改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0B．∃x0∈R，x20＋x00C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x0解析：由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．答案：B3．(人A必修第一册·习题改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab1是a1b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要解析：若“ab1”当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a1b”，若“a1b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab1”，故“ab1”是“a1b”的既不充分也不必要条件．答案：D[典题体验]4．(2019·天津卷)设x∈R，则“0x5”是“|x－1|1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：|x－1|1⇔－1x－11⇔0x2.当0x2时，必有0x5；反之，不成立．所以，“0x5”是“|x－1|1”的必要而不充分条件．答案：B5．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则a＋bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．解析：abc，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，则a＋b＝－6c.答案：－2，－4，－5(答案不唯一)6．(2020·豫南五校联考)若“∀x∈－π4，π3，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．解析：由x∈－π4，π3，所以1≤tanx＋2≤2＋3.因为“∀x∈－π4，π3，m≤tanx＋2”为真命题，则m≤1.所以实数m的最大值为1.答案：1考点1充分条件与必要条件的判定(讲练互动)[典例1](2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．故选C.答案：C[典例2](2019·浙江卷)设a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a0，b0，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝54，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．答案：A充要条件的三种判断方法1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．2．集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．(2018·天津卷)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“x－1212”得0x1，则0x31，即“x－1212”⇒“x31”；由“x31”得x1，当x≤0时，x－12≥12，即“x31”“x－1212”．所以“x－1212”是“x31”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－1x＋a为奇函数”的________条件．解析：显然a＝0时，f(x)＝sinx－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sinx－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．答案：充要考点2充分、必要条件的应用(典例迁移)[典例](经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．解：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.所以1－m≥－2，1＋m≤10，解得m≤3.又因为S为非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3]．[迁移探究]1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以1－m＝－2，1＋m＝10，所以m＝3，m＝9.这样的m不存在．2．设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝x|－2≤x≤10，因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp，即PS.所以1－m≤－2，1＋m＞10，或1－m＜－2，1＋m≥10.所以m≥9，又因为S为非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，综上，实数m的取值范围是[9，＋∞)．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：1．把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)进行求解．2．要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(2020·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a3D．a≥3解析：|x－1|a⇒－ax－1a⇒1－ax1＋a，因为不等式|x－1|a成立的充分条件是0x4，所以(0，4)⊆(1－a，1＋a)，所以1－a≤0，1＋a≥4，⇒a≥1，a≥3，⇒a≥3.答案：D考点3全称量词与存在量词(多维探究)角度含有量词命题的否定[典例1]命题p：存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x01的否定是()A．¬p：任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x1B．¬p：不存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x01C．¬p：任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1D．¬p：任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1解析：根据全称命题与特称命题的关系，得¬p：任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1.答案：C[典例2]命题“∀x0，xx－10”的否定是()A．∃x0，xx－1≤0B．∃x0，0≤x≤1C．∀x0，xx－1≤0D．∀x0，0≤x≤1解析：命题“∀x0，xx－10”的否定是“∃x0，xx－1≤0或x＝1”，即∃x0，0≤x≤1.答案：B角度由命题的真假求参数的取值(范围)[典例3]已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.答案：14，＋∞[典例4]已知p：对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若p和q均为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由p为真命题知x2≥a在[1，2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1.设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2，所以由命题q为真，知a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2，得a＝1或a≤－2，故实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．答案：(－∞，－2]∪{1}1．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．2．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．3．含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决．1．(角度1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0.答案：D2．(角度2)在典例3中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________．解析：当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，所以m≥12.答案：12，＋∞