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第五章数列教材·高考·答题(三)——数列热点问题三年真题考情高考热点真题印证核心素养等差(比)数列的判定与证明2019·全国卷Ⅱ，T192018·全国卷Ⅰ，T172017·全国卷Ⅰ，T171.逻辑推理2.数学运算等差与等比数列的综合问题2019·江苏卷，T202018·浙江卷，T202017·全国卷Ⅱ，T171.数学运算2.逻辑推理数列的通项与求和2019·天津卷，T192018·全国卷Ⅱ，T171.数学运算2.数学建模一、教材链接高考——等差(比)数列的判定与证明[链接教材]1.(人A必修5·习题改编)根据图2.4－2中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？2．(人A必修5·习题改编)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3)．对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？[试题评析](1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中a1＝1，an＝12an－1(n1)．进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列{an}是等比数列．(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bn＝an＋an－1(n≥2)，cn＝an－3an－1(n≥2)，利用等比数列定义不难得到{bn}{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式．两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．因为a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)解：由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．所以an－3n＝2×(－2)n－1，故an＝2×(－2)n－1＋3n.数列递推公式是数列命题常见类型，解题的关键是通过适当的变形，转化成特殊数列问题．1．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．(1)证明：因为4an＋1＝3an－bn＋4且4bn＋1＝3bn－an－4.所以4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1，所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.二、教你如何审题——等差与等比数列的综合问题(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．[审题路线][自主解答](1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以Tn＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝n（n＋1）2.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2×（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，得n（n＋1）2＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)或n＝4.所以n的值为4.1．本题主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键．2．利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法．3．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．2．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得d＝3，q＝0，(舍去)或d＝1，q＝2.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.三、满分答题示范——数列的通项与求和(满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n＋1的前n项和．[规范解答](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②(1分)①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1，(4分)又n＝1时，a1＝2适合上式，(5分)从而an的通项公式为an＝22n－1.(6分)(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，由(1)知an2n＋1＝2（2n－1）（2n＋1）＝12n－1－12n＋1，(8分)则Sn＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝(10分)1－12n＋1＝2n2n＋1.(12分)1．得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果．在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.2．得关键分：(1)an－1满足的关系式；(2)验证n＝1；(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分．3．得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如计算得出an＝22n－1，an2n＋1＝12n－1－12n＋1及Sn＝1－12n＋1＝2n2n＋1.[解题程序]第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项．第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择裂项相消法求和．第三步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤．3．(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.(1)求{an}和{bn}的通项公式．(2)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝1，2kn2k＋1，bk，n＝2k，其中k∈N*.(ⅰ)求数列{a2n·(c2n－1)}的通项公式；(ⅱ)求i＝12naici(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意得6q＝6＋2d，6q2＝12＋4d，解得d＝3，q＝2，故an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.所以，{an}的通项公式为an＝3n＋1，{bn}的通项公式为bn＝3×2n.(2)(ⅰ)a2n(c2n－1)＝a2n(bn－1)＝(3×2n＋1)·(3×2n－1)＝9×4n－1.所以，数列{a2n·(c2n－1)}的通项公式为a2n(c2n－1)＝9×4n－1.(ⅱ)i＝12naici＝i＝12n[ai＋ai(ci－1)]＝i＝12nai＋i＝1na2i(c2i－1)＝2n×4＋2n（2n－1）2×3＋i＝1n(9×4i－1)＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×4（1－4n）1－4－n＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．