2021高考数学一轮复习 第五章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课件

第五章数列第1节数列的概念与简单表示法课程标准考情索引核心素养1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.2018·全国卷Ⅰ，T142017·全国卷Ⅰ，T122017·北京卷，T201.逻辑推理2.数学运算1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类标准类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列an＋1＞an递减数列an＋1＜an单调性常数列an＋1＝an其中n∈N*单调性摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.3．数列是一种特殊的函数，数列的单调性、周期性在求值时常常用到．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）nan－1(n≥2)，则a5＝________．解析：a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1－1a2＝12，a4＝1＋1a3＝3，a5＝1－1a4＝23.答案：233．(人A必修5·习题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝____．解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.答案：5n－4[典题体验]4．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋（－1）n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝|sinnπ2|，其中能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．答案：A5．(2020·衡水中学摸底)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，Sn为其前n项和，则S5的值为()A．57B．61C．62D．63解析：由条件可得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31，所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋7＋15＋31＝57.答案：A6．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.答案：(－3，＋∞)考点1归纳数列的通项公式(自主演练)1．(2020·长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A．an＝(－1)n－1＋1B．an＝2，n为奇数，0，n为偶数C．an＝2sinnπ2D．an＝cos(n－1)π＋1解析：对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sinnπ2不合题意．答案：C2．写出下面各数列的一个通项公式．(1)3，5，7，9，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5555，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×1n（n＋1），n∈N*.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．2．具体策略，要抓住以下特征：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征．(3)各项的符号特征和绝对值特征．(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．(5)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．考点2由an与Sn的关系求通项an(讲练互动)[典例1]已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．解析：a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.答案：4n－5[典例2](2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．解析：因为Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.所以数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，所以Sn＝a1（1－qn）1－q＝－1×（1－2n）1－2＝1－2n，所以S6＝1－26＝－63.答案：－63[典例3]已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．解析：当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，所以an＝2n－1n.显然当n＝1时不满足上式，所以an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.答案：2，n＝1，2n－1n，n≥2.1．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝3，n＝1，2n，n≥2.答案：an＝3，n＝1，2n，n≥2.2．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则an＝________．解析：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2)．由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n.答案：13n3．若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－1考点3由递推公式求通项公式(讲练互动)[典例1]已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：由条件知an＋1－an＝1n2＋n＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，则当n≥2时，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n，即an－a1＝1－1n.又因为a1＝12，所以an＝1－1n＋12＝32－1n(n≥2)．显然a1＝12满足上式，所以an＝32－1n(n∈N*)．答案：32－1n[典例2]已知数列{an}满足a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：因为an＝n－1nan－1(n≥2)，所以an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n(n≥2)．又a1＝1满足上式，所以an＝1n(n∈N*)．答案：1n[典例3]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋32＝3an＋12.又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以an＋12＝3n2，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－12.答案：3n－12[典例4]若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：因为an＋1＝2anan＋2，a1＝1，所以an≠0，所以1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.又a1＝1，则1a1＝1，所以1an是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，所以an＝2n＋1.答案：2n＋1由递推关系式求通项公式的常用方法1．已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；2．已知a1且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an；3．已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}；4．形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可两边同时取倒数构造新数列求解．1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________．解析：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2，所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－32．已知数列{an}满足an＝an－1＋1n（n－1）(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则该数列{an}的通项公式an＝_____．解析：由已知得a2－a1＝12×1，a3－a2＝13×2，…，an－an－1＝1n（n－1），将上式两边分别相加，得an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1n（n－1）(n≥2)．又因为a1＝1，所以an＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n＝2n－1n(n≥2)．当n＝1时，a1＝1，满足上式，所以an＝2n－1n(n∈N*)．答案：2n－1n考点4数列的性质(多维探究)角度数列的单调性[典例1]已知an＝n－1n＋1，那么数