2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 教材高考答题（二）课件

第四章三角函数解三角形教材·高考·答题(二)——三角函数与解三角形热点问题三年真题考情高考热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2019·全国卷Ⅰ，T112019·全国卷Ⅱ，T92019·全国卷Ⅲ，T122019·浙江卷，T182019·天津卷，T72018·全国卷Ⅱ，T101.直观想象2.逻辑推理三角变换与平面向量的综合2019·全国卷Ⅱ，T112019·江苏卷，T162018·全国卷Ⅱ，T152018·全国卷Ⅲ，T42018·浙江卷，T182018·江苏卷，T161.逻辑推理2.数学运算解三角形2019·全国卷Ⅰ，T172019·全国卷Ⅱ，T182019·北京卷，T152019·江苏卷，T152018·全国卷Ⅰ，T172017·全国卷Ⅰ，T171.逻辑推理2.数学运算一、教材链接高考——三角函数的图象与性质[链接教材](人A必修4·习题改编)题目9已知函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(1)求函数的递减区间；(2)求函数的最大值和最小值．题目10已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解．已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx－π6(ω0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；(2)求f(x)在π8，3π8上的最大值．解：(1)f(x)＝4cosωx32sinωx－12cosωx＝23sinωxcosωx－2cos2ωx＝3sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin2ωx－π6－1，因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2π2|ω|＝π.又ω0，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－π6－1.令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为0，π3和5π6，π.(2)当x∈π8，3π8时，2x∈π4，3π4，π12≤2x－π6≤7π12.当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.1．将f(x)变形为f(x)＝2sin2x－π6－1是解题的关键：(1)活用和、差、倍角公式化为“复角”的三角函数；(2)由周期T＝π，求ω＝1.2．把“ωx＋φ”视为整体，利用三角函数的性质可求f(x)的单调性、周期、最值及对称性问题．1．(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.二、教你如何审题——三角变换与平面向量的综合已知向量m＝(2sinωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cosωx，1)，其中ω0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sinB＝3sinA，求BA→·BC→的值．[审题路线][自主解答](1)由题意得，f(x)＝m·n＝23sinωx·cosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π6.因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2π2|ω|＝π.又ω0，所以ω＝1.(2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.因为f(B)＝－2，所以2sin2B＋π6＝－2，即sin2B＋π6＝－1，由于0Bπ，所以B＝2π3.因为BC＝3，即a＝3，又sinB＝3sinA，所以b＝3a＝3.由正弦定理，得3sinA＝3sin2π3，解得sinA＝12.由于0Aπ3，所以A＝π6.所以C＝π6，所以c＝a＝3.所以BA→·BC→＝cacosB＝3×3×cos2π3＝－32.1．破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化．2．这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解．2．已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝cos2B，2cos2B2－1，B为锐角，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，求S△ABC的最大值．解：(1)因为m∥n，所以2sinB2cos2B2－1＝－3cos2B，所以sin2B＝－3cos2B，即tan2B＝－3.又因为B为锐角，所以2B∈(0，π)，所以2B＝2π3，所以B＝π3.(2)因为B＝π3，b＝2，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4，故S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故S△ABC的最大值为3.三、满分答题示范——解三角形(满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.[规范解答](1)由题设得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，根据正弦定理，有b2＋c2－a2＝bc.(3分)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(5分)(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，(7分)则62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，(10分)故sinC＝sin[(C＋60°)－60°]＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.(12分)1．写全得分步骤：解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中写出b2＋c2－a2＝bc就有分，第(2)问中写出2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC就得分．2．写明得分关键点：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写明得分关键点，如第(1)问中由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12；第(2)问中求cos(C＋60°)＝－22，sin(C＋60°)＝22.3．计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问求A＝60°，第(2)问中求出C＋60°的正弦、余弦值，以及sinC＝6＋24等，否则将失分．[解题程序]第一步：由条件及正弦定理，化角为边之间的关系．第二步：利用余弦定理，求cosA＝12，得A＝60°.第三步：将2a＋b＝2c化为角之间的关系，求cos(C＋60°)的值．第四步：由两角差公式，求sinC＝6＋24.第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论.3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.