2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第7节 解三角形的综合应用课件

第四章三角函数解三角形第7节解三角形的综合应用课程标准考情索引核心素养能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2017·浙江卷，T111.数学运算2.数学建模1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．2．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．4．坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()解析：(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，又因为B＝30°，所以AB＝ACsin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：A3．(人A必修5·习题改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．解析：由已知得∠DAC＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝32a.答案：32a[典题体验]4.(2020·日照一中月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.答案：D5．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距53海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．解析：由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即53sin60°＝BCsin45°，得BC＝52.答案：526．(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝______．解析：如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形．从而正六边形的面积S6＝6×12×12×sin60°＝332.答案：332考点1高度、距离的测量问题(多维探究)角度测量高度问题[典例1]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析：依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.所以∠ACB＝45°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝CBsin∠CAB，得600sin45°＝CBsin30°，解得CB＝3002，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝1006，因此山的高度CD为1006m.答案：10061．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56B．153C．52D．156解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.答案：D角度测量距离问题[典例2]如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400m到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800m可到达C处，则索道AC的长为________m.解析：在△ABD中，BD＝400m，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，则∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD.即400sin30°＝ADsin120°，解得AD＝4003(m)．在△ADC中，DC＝800m，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos150°＝4002×13.解得AC＝40013(m)，故索道AC的长为40013m.答案：400131．选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．2．确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝DC＝32(km)．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.答案：64考点2测量角度问题(讲练互动)[典例]已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参数数据：sin38°≈5314，sin22°≈3314解：如图，设辑私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．2．方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，得BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.答案：2114考点3正(余)弦定理在几何中的应用(讲练互动)[典例]如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝2π3，半径为42，若点C是AB︵上的一动点(不与点A，B重合)．(1)若弦BC＝4(3－1)，求BC︵的长；(2)求四边形OACB面积的最大值．解：(1)在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，所以由余弦定理得cos∠BOC＝OB2＋OC2－BC22OB·OC＝32，又0∠BOCπ，所以∠BOC＝π6，所以BC︵的长为π6·42＝22π3.(2)设∠AOC＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC＝2π3－θ，S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝12×42×42sinθ＋12×42×42·sin2π3－θ＝24sinθ＋83cosθ＝163sinθ＋π6，由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB的面积取得最大值163.1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦(余弦)定理有机结合起来．如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3，EC＝7.(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的长．解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知BEsin∠BCE＝CEsinB，因为B＝2π3，BE＝1，CE＝7，所以sin∠BCE＝BE·sinBCE＝327＝2114.(2)因为∠CED＝∠B＝2π3，所以∠DEA＝∠BCE，所以cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.因为A＝π2，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－12＝49.所以CD＝7.