2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理课件

第四章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课程标准考情索引核心素养1.借助向量，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理、余弦定理.2.能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的几何计算问题.2019·全国卷Ⅰ，T112019·全国卷Ⅱ，T152019·全国卷Ⅲ，T182018·全国卷Ⅰ，T172018·全国卷Ⅱ，T62018·全国卷Ⅲ，T92017·全国卷Ⅰ，T171.数学运算2.逻辑推理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径．定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；cosA＝b2＋c2－a22bc；常见变形(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形个数的情况如下：角AA为锐角A为钝角或直角关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b图形三角形的个数一解两解一解一解无解1．三角形中的三角函数关系．(1)sin(A＋B)＝sinC．(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sinA＋B2＝cosC2.(4)cosA＋B2＝sinC2.2．三角形中的射影定理．在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3．△ABC中，∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形．()解析：(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．(3)已知三个角时，不可求三边．(4)当b2＋c2－a20时，△ABC不一定为锐角三角形．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为在△ABC中，∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝2π3.答案：C3．(人A必修5·习题改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为__________________．解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形[典题体验]4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25解析：因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×(55)2－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×(－35)＝32，所以AB＝32＝42.故选A.答案：A5．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝__________，c＝________.解析：如图，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝ba·sinA＝27×32＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：21736．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又因为b＝6，a＝2c，B＝π3，所以36＝4c2＋c2－2×2c2×12，所以c＝23，a＝43，所以S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.答案：63考点1利用正、余弦定理解三角形(自主演练)1．已知△ABC中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则b等于()A．2B．1C.3D.2解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得1sinπ6＝bsinπ4，所以112＝b22，所以b＝2.答案：D2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，且cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：因为asinA－bsinB＝4csinC，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝b2＋4c2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－（4c2＋b2）2bc＝－3c22bc＝－14，因此bc＝6.答案：A3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC.所以在△ABC中，C＝π4.答案：C4．(2020·福州调研)在△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()A.14B.12C.32D.154解析：在△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA.由正弦定理，得c＝2a，又b2＝a2＋c2－2accosB，所以4＝a2＋4a2－4a2×14，解得a＝1，则c＝2.故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×1－142＝154.答案：D1．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．考点2判断三角形的形状(典例迁移)[典例1](经典母题)(2020·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，由A∈(0，π)，所以A＝π3，因为sinBsinC＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，则b＝c.故△ABC为等边三角形．答案：C[典例2](多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状可能为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案：AB[迁移探究]1．若将典例1中的条件变为“a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，判断△ABC的形状．解：因为a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，所以C＝π3，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，所以A＝B，故△ABC为等边三角形．2．若将典例1中的条件变为“2acosB＝c，且sinAsinB·(2－cosC)＝sin2C2＋12”试判断△ABC的形状．解：由2acosB＝c，得2a·a2＋c2－b22ac＝c，即a2＝b2，所以a＝b.因为sinAsinB(2－cosC)＝sin2C2＋12，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2C2＝0，即2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)·(2sinAsinB－1)＝0，因为cosC≠2，所以sinAsinB＝12.因为a＝b，所以sin2A＝12，所以A＝B＝π4，所以C＝π2.所以△ABC是等腰直角三角形．1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．角度和三角形面积有关的问题[典例1](2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.又由(1)知A＋C＝120°，故由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.1．(1)用正弦定理将边化成角，再利用三角恒等变换求解角B.(2)用正弦定理先表示出边a，再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围，进而求出△ABC面积的取值范围．2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.角度与三角恒等变形有关的问题[典例2](2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c