2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件

第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课程标准考情索引核心素养1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，知道两角差余弦公式的意义.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).2019·全国卷Ⅱ，T102019·江苏卷，T132018·全国卷Ⅱ，T152018·全国卷Ⅲ，T41.数学运算2.逻辑推理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ．cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ．tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．tan2α＝2tanα1－tan2α．3．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.1．tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．2．cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.3．1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．在求解三角时，往往要借助角的范围．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()解析：(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案：(1)√(2)√(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于()A．－210B.210C．－7210D.7210解析：因为α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.答案：C3．(人A必修4·习题改编)计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________．解析：原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°·cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.答案：12[典题体验]4．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析：因为sinα＝13，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(13)2＝1－29＝79.故选B.答案：B5．(2020·安徽合肥联考)cos23°＋cos67°2sin68°＝()A．2B.3C.2D．1解析：原式＝cos23°＋sin23°2sin68°＝2sin（23°＋45°）2sin68°＝1.答案：D6．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝________．解析：tan(α－5π4)＝tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：32考点1三角变换公式的直接应用(自主演练)1．(2020·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()A.12B.32C．－12D．－32解析：由三角函数定义，sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝12.答案：A2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：由2sin2α＝cos2α＋1⇒4sinαcosα＝2cos2α，得2sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，则5sin2α＝1.又α∈0，π2，知sinα＝15＝55.答案：B3．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)＝________．解析：tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.答案：14．已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝_____．解析：原式＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－45，故cos2α2sinα＋π4＝cosα－sinα＝－45－35＝－75.答案：－751．使用两角和与差的三角函数公式时，要记住公式的结构特征．2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．注意：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．考点2和、差、倍角等三角函数公式的变形与逆用(讲练互动)[典例1](2020·揭阳模拟)若sinπ2－2α＝35，则sin4α－cos4α的值为()A.45B.35C．－45D．－35解析：因为sinπ2－2α＝35，所以cos2α＝35，则sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－35.答案：D[典例2]在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，得tanA＋tanB＝tanAtanB－1，所以tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1.所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝1.由C∈(0，π)，知C＝π4，所以cosC＝22.答案：B1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．逆用公式时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．1．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案：B2．(2020·郑州模拟)已知cosα－π3＋cosα＝435，则cosπ6－α＝________．解析：因为cosα－π3＋cosα＝12cosα＋32sinα＋cosα＝312sinα＋32cosα＝3sinα＋π3，所以3sinα＋π3＝435，则sinα＋π3＝45.则cosπ6－α＝cosπ2－α＋π3＝sinα＋π3＝45.答案：45考点3三角函数式的化简求值(多维探究)角度三角函数式的化简[典例1]化简：（1＋sinα＋cosα）·cosα2－sinα22＋2cosα(0απ)＝________．解析：原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2，因为0απ，所以0α2π2，所以cosα20，所以原式＝cosα.答案：cosα1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．2．化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．化简：2cos4α－2cos2α＋122tanπ4－αsin2π4＋α＝________．解析：原式＝12（4cos4α－4cos2α＋1）2×sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝（2cos2α－1）24sinπ4－αcosπ4－α＝cos22α2sinπ2－2α＝cos22α2cos2α＝12cos2α.答案：12cos2α角度给角求值[典例2](2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.角度给值求角[典例3](2020·河南六市联考)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，若0βαπ2，则β＝________．解析：由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2.又cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又因为β∈0，π2，所以β＝π3.答案：π31．“给角求值”“给值求角”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．2．“给值求角”：实质是转化为“给角求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．具体操作遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．1．(角度1，2)(2019·江苏卷)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．解析：因为tanαtanα＋π4＝sinαcosα＋π4cos