2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件

第四章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课程标准考情索引核心素养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2019·全国卷Ⅰ，T72018·全国卷Ⅱ，T152017·北京卷，T122017·全国卷Ⅲ，T41.数学运算2.逻辑推理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tanα．2．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()解析：(1)中对任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立．(4)当k为奇数时，sinα＝13，当k为偶数时，sinα＝－13.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝()A.45B．－45C.35D．－35解析：由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－91＋9＝－45.答案：B3．(人A必修4·习题改编)已知α为锐角，且sinα＝45，则cos(π＋α)＝()A．－35B.35C．－45D.45解析：因为α为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝35.故cos(π＋α)＝－cosα＝－35.答案：A[典题体验]4．(2020·闽粤赣三省十校联考)若α∈π2，π，sinα＝33，则tanα＝()A．－2B．－32C．－22D.2解析：因为α∈π2，π，且sinα＝33，所以cosα＝－63，则tanα＝－22.答案：C5．(2020·武汉调研)若角α满足sinα1－cosα＝5，则1＋cosαsinα＝()A.15B.52C．5或15D．5解析：1＋cosαsinα＝（1＋cosα）（1－cosα）sinα（1－cosα）＝sin2αsinα（1－cosα）＝sinα1－cosα＝5.答案：D6．化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果是________．解析：原式＝sinαcosα(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α考点1同角三角函数关系的应用(自主演练)1．已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα等于()A．－513B.513C．－125D.125解析：因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，则tanα＝sinαcosα＝－125.答案：C2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79解析：因为sinα－cosα＝43，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝169，所以sin2α＝－79.故选A.答案：A3．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα等于()A．－1B．－22C.22D．1解析：由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，所以cosα＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝tan3π4＝－1.答案：A4．(2020·东莞质检)函数y＝loga(x＋4)＋2(a0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝()A．－513B.513C．－1213D.1213解析：因为函数y＝loga(x＋4)＋2的图象恒过点A(－3，2)．所以点A(－3，2)在角θ的终边上．所以tanθ＝yx＝－23，则sin2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝－1213.答案：C1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.考点2诱导公式的应用(自主演练)1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3解析：tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3.答案：D2．(2020·临川九校联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋α·tan(π＋α)＝()A．－1517B.1517C．－817D.817解析：sinπ2＋α·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝817.故sinπ2＋α·tan(π＋α)＝817.答案：D3．(2020·冀鲁豫名校期末联考)若sinα＋3π2＝35，且α是第三象限角，则cosα＋2019π2＝()A.35B．－35C.45D．－45解析：sinα＋3π2＝－cosα＝35，所以cosα＝－35，又α是第三象限角，所以sinα＝－45，所以cosα＋2019π2＝cos1008π＋α＋3π2＝sinα＝－45.答案：D4．已知f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0，1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________．解析：因为f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.答案：31．诱导公式的两个应用．(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用．由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.考点3同角关系与诱导公式的活用(讲练互动)[典例1](2020·济南六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13解析：由已知得3sinβ－2tanα＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0.消去sinβ，得tanα＝3，所以sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝910，故sinα＝31010(α为锐角)．答案：C[典例2]已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．解：(1)由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，所以cosx0，所以sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinx（cosx＋sinx）1－sinxcosx＝2sinxcosx（cosx＋sinx）cosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．2．(1)注意角的范围对三角函数符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号．(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如π3－α与π6＋α互余等．1．(2020·广东六校联考)已知sinπ2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sinθcosθ＋cos2θ＝()A.15B.25C.35D.55解析：因为sinπ2＋θ＋3cos(π－θ)＝cosθ－3cosθ＝－2cosθ＝sin(－θ)＝－sinθ，所以tanθ＝2.则sinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋cos2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1tan2θ＋1＝35.答案：C2．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2απ，则sinα－cosα＝________．解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23①将①式两边平方得1＋2sinαcosα＝29，所以2sinαcosα＝－79，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－－79＝169，又因为π2απ，所以sinα0，cosα0，所以sinα－cosα＝43.答案：43