2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值方差

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差课程标准考情索引核心素养1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值、方差的概念．2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.2019·全国卷Ⅱ，T132019·天津卷，T162019·浙江卷，T72018·全国卷Ⅰ，T202017·全国卷Ⅰ，T192017·全国卷Ⅲ，T181.数学运算2.数据分析1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(X)＝i＝1n（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差项目均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)1．均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解．若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．()(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A选修2－3·习题改编)已知X的分布列为：X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1解析：(1)E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，则E(Y)＝2E(X)＋3＝3－23＝73.答案：A3．(人A选修2－3·习题改编)已知随机变量X的分布列为：X01234P0.10.2a0.20.1则D(X)＝()A．1.44B．1.2C.1.2D．2解析：由分布列性质知，0.1＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.4.所以E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2.答案：B[典题体验]4．(2020·东莞一中检测)假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且E(X)＝6，则p的值为()A．0.4B．0.5C．0.6D．0.8解析：由已知得X～B(10，p)，所以E(X)＝10p＝6，解得p＝0.6.答案：C5．(2019·浙江卷)设0＜a＜1，随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0，1)内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大解析：数学期望E(X)＝0×13＋a×13＋1×13＝a＋13，D(X)＝0－a＋132＋a－a＋132＋1－a＋132×13＝29(a2－a＋1)＝29a－122＋16.所以当0＜a＜12时，D(X)单调递减；当12＜a＜1时，D(X)单调递增．答案：D6．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)＜E(X)，故乙技术好．答案：乙考点1离散型随机变量的均值与方差(讲练互动)[典例](2020·衡水中学检测)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝RiN，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度Pi0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中答对第5题的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设Pi′为第i题的实测难度，并定义统计量S＝1n[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，若S＜0.05，则本次测试的难度预估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理．解：(1)因为20人中答对第5题的人数为4，因此第5题的实测难度为420＝0.2，所以，估计240人中有240×0.2＝48人实测答对第5题．(2)X的所有可能取值是0，1，2.P(X＝0)＝C216C220＝1219，P(X＝1)＝C116C14C220＝3295，P(X＝2)＝C24C220＝395.X的分布列为X012P12193295395E(X)＝0×1219＋1×3295＋2×395＝3895＝25.(3)将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度．列表如下：题号12345实测难度0.80.80.70.70.2S＝15×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012.因为S＝0.012＜0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的．1．求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元．两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝14×16＝124；P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14；P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512；P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14；P(ξ＝160)＝14×16＝124.故ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.考点2与二项分布有关的均值与方差(讲练互动)[典例]某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N(127，72)．(1)求该校此次数学考试平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σXμ＋2σ)＝95.44%)解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N(127，72)，可知平均成绩为μ＝127.(2)P(ξ141)＝P(ξ127＋2×7)＝12×[1－P(μ－2σξμ＋2σ)]＝0.0228，故得分超过141分的人数为1000×0.0228≈23.(3)由题意知X～B4，14，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝344＝81256，P(X＝1)＝C14141343＝2764，P(X＝2)＝C24142342＝27128，P(X＝3)＝C34143341＝364，P(X＝4)＝144＝1256，故X的分布列为X01234P812562764271283641256期望E(X)＝np＝4×14＝1，方差D(X)＝np(1－p)＝4×14×34＝34.1．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．(2020·合肥调研)为了增强高考与高中学习的关联度，某省考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会，计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科．(1)某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择？(2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级则不参加第二次考试，达不到二级则参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有C26＝15种不同选择．(2)因为甲、乙、丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立．所以参加第二次考试的总次数X～B(9，0.2)所以P(X＝k)＝Ck9×0.89－k×0.2k(k＝0，1，…，9)X01234PC09×0.89C19×0.88×0.2C29×0.87×0.22C39×0.86×0.23C49×0.85×0.24X56789PC59×0.84×0.25C69×0.83×0.26C79×0.82×0.27C89×0.8×0.28C99×0.29所以随机变量X的数学期望E(X)＝np＝9×0.2＝1.8