2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分布课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布课程标准考情索引核心素养1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题．3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2019·全国卷Ⅰ，T142019·全国卷Ⅱ，T182018·全国卷Ⅰ，T202018·全国卷Ⅲ，T81.数学运算2.数据分析1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验．在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二项分布．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义．一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝∫baφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点．①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974．1．相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件概率加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)相互独立事件就是互斥事件．()(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(3)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．()(4)在正态分布函数φμ，σ(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2中，σ是正态分布的标准差．()(5)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√[教材衍化]2．(人A选修2－3·习题改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝210＝15，P(AB)＝2×310×9＝115，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝13.答案：B3．(人A选修2－3·习题改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝43.答案：43[典题体验]4．(2020·潍坊一中调研)设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于()A．1B．2C．4D．不能确定解析：当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.答案：C5．设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________．解析：由题意得取出红球个数X服从二项分布，即X～B6，23，所以P(X＝2)＝C26232·134＝20243.答案：202436．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.所以甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.答案：0.18考点1条件概率(自主演练)1．(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12解析：法一事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，即n(A)＝4，事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1.故由条件概率，P(B|A)＝n（AB）n（A）＝14.法二P(A)＝C23＋C22C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110.P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110410＝14.答案：B2．(2020·“五个一名校联盟”模拟考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110B.15C.25D.12解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1512＝25.故选C.答案：C3．(2020·合肥调研)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人，环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝()A.14B.34C.29D.59解析：由题设，得P(B)＝3344＝27256，P(AB)＝A3344＝3128，故P(A|B)＝P（AB）P（B）＝29.答案：C条件概率的两种求法1．定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P（AB）P（A）求P(B|A)．2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.考点2相互独立事件同时发生的概率(讲练互动)[典例]某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝23，P(E—)＝13，P(F)＝35，P(F—)＝25，且事件E与F，E与F—，E—与F，E—与F—都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H—＝E—F—，于是P(H—)＝P(E—)P(F—)＝13×25＝215，故所求的概率为P(H)＝1－P(H—)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220，P(X＝0)＝P(E—F—)＝13×25＝215，P(X＝100)＝P(E—F)＝13×35＝15，P(X＝120)＝P(EF—)＝23×25＝415，P(X＝220)＝P(EF)＝23×35＝25.故所求X的分布列为X0100120220P2151541525求相互独立事件同时发生的概率的方法1．首先判断几个事件的发生是否相互独立．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.1．明确随机变量取值的含义：(1)“X＝2”，要么甲得2分，要么乙得2分，分类求出独立事件的概率，进一步利用概率加法公式．(2)“X＝4且甲获胜”表示又打了4个球，且后两球甲得分，前两个球甲、乙各得1分，由独立事件的概率公式可求解．2．某局打成10∶10平后，每球交换发球权，甲先发球，求出甲得分的概率分别为0.5，0.4，这是解题的关键．考点3独立重复试验与二项分布(讲练互动)[典例](2018·长沙联考)为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施．新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科．假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生．(1)求这3名学生都选择物理的概率；(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“这3名学生都选择物理”为事件A，依题意得每位学生选择物理的概率都为12，故P(A)＝123＝18，即这3名学生都选择物理的概率为18.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知X～B3，12，P(X＝0)＝C03123