2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量及其分布列

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列课程标准考情索引核心素养1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列对于刻画随机现象的重要性，能列出取有限个值的离散型随机变量的分布列．2.通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.2019·全国卷Ⅰ，T2(1)2019·江苏卷，T232018·天津卷，T162017·全国卷Ⅲ，T181.数学运算2.数据分析1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质．①pi≥0，i＝1，2，…，n；②i＝1npi＝1．3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布．若随机变量X服从两点分布，即其分布列为：X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布．一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN则称随机变量X服从超几何分布．1．随机变量的线性关系．若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用．(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从两点分布．()(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．()解析：对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A选修2－3·习题改编)设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p为()A.16B.13C.14D.112解析：由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1，所以p＝1－34＝14.答案：C3．(人A选修2－3·习题改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X的分布列为_____．解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝Ck3·C4－k7C410，k＝0，1，2，3.即X0123P1612310130答案：X0123P1612310130[典题体验]4．(2020·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2155解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.答案：C5．(2020·惠州调研)若随机变量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(ηx)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤2B．1≤x≤2C．1x≤2D．1x2解析：由离散型随机变量的分布列知P(η－1)＝0.1，P(η0)＝0.3，P(η1)＝0.5，P(η2)＝0.8，则当P(ηx)＝0.8时，实数x的取值范围是1x≤2.答案：C6．(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝13.答案：13考点1离散型随机变量分布列的性质(自主演练)1．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝an（n＋1）(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则P54X134的值为()A.23B.34C.45D.516解析：因为P(X＝n)＝an（n＋1）(n＝1，2，3，4)，所以a2＋a6＋a12＋a20＝1，所以a＝54.所以P54X134＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝54×16＋54×112＝516.答案：D2．已知随机变量X的分布列为()X012345P110310x310yz则P(X≥2)＝()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6解析：P(X≥2)＝x＋310＋y＋z＝1－110＋310＝0.6.答案：D3．(2020·日照一中检测)设随机变量X的概率分布列为：X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________．解析：由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.答案：5121．利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．3．若X为随机变量，则η＝2X＋1，η＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列时可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．考点2离散型随机变量的分布列(讲练互动)[典例](2020·冀州高三期末)有编号为1，2，3…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X)．解：(1)因为当X＝2时，有C2n种坐法，所以C2n＝6，即n（n－1）2＝6，即n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝624＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝824＝13，P(X＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X的概率分布列为X0234P124141338则期望E(X)＝0×124＋2×14＋3×13＋4×38＝3.1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2020·佛山调研)2020年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和期望．解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝A23A34＝14，故a同学摸球三次后停止摸球的概率为14.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝14，P(X＝1)＝2A24＝16，P(X＝2)＝1A24＋A22A34＝16，P(X＝3)＝C12A22A34＝16，P(X＝4)＝A33A44＝14.所以随机变量X的分布列为X01234P1416161614期望E(X)＝0×14＋1×16＋2×16＋3×16＋4×14＝2.考点3超几何分布(讲练互动)[典例](2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0，1，2，3)．所以P(X＝0)＝C04·C33C37＝135，P(X＝1)＝C14·C23C37＝1235，P(X＝2)＝C24·C13C37＝1835，P(X＝3)＝C34·C03C37＝435.所以随机变量X的分布列为X0123P13512351835435则期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以事件A发生的概率为67.1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．2．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2017·山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142