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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节排列与组合课程标准考情索引核心素养1.通过实例，理解排列、组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能利用公式解决一些简单的实际问题.2019·全国卷Ⅰ，T62018·全国卷Ⅰ，T152018·浙江卷，T162017·全国卷Ⅱ，T61.数学建模2.数学运算1．排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！.(2)Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1性质(1)0！＝1，Ann＝n！．(2)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n1．排列与组合最根本的区别在于“有序”与“无序”，取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．2．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若Cxn＝Cmn，则x＝m.()(4)kCkn＝nCk－1n－1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A选修2－3·习题改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A．12B．24C．64D．81解析：4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A34＝24.答案：B3．(人A选修2－3·习题改编)计算C37＋C47＋C58＋C69的值为________(用数字作答)．解析：原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210.答案：210[典题体验]4．(2020·揭阳一中检测)某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为()A．6B．12C．24D．48解析：根据题意，分2步进行分析：①将两节数学课“捆”在一起与语文课先进行排列，有A22种排法；②将物理课、化学课在第一步排后的3个空隙中选两个插进去，有A23种方法，根据分步乘法计数原理得不同课程安排种数为A22A23＝12.答案：B5．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：第一步：将4项工作分成3组，共有C24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A33种分配方法，故共有C24·A33＝36种安排方式，故选D.答案：D6．(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．解析：不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个)．含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1260.答案：1260考点1排列问题(自主演练)1．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有()A．96个B．78个C．72个D．64个解析：根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78个这样的五位数符合要求．答案：B2．(2020·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记其余两种产品为D，E，则A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，所以共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：363．(一题多解)6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法．答案：4801．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．2．对相邻问题采用的捆绑法、不相邻问题采用的插空法、定序问题采用的倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．考点2组合问题(讲练互动)[典例]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？解：(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种，或者C335－C234＝C334＝5984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2100种取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．2．“至少”或“至多”含有几个元素的题型，若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．1．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数．所以不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案)．解析：法一(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16考点3排列与组合的综合应用(多维探究)角度排列组合应用题[典例1](2020·合肥模拟)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种解析：由题意知任务A、E必须相邻，且只能安排为AE，分三类：①当A，E分别排在第一、二位置时，有A22A23＝12种执行方案；②当A，E分别排在第二、三位置时，有A12A33＋A12A22＝12＋4＝16种执行方案；③当A，E分别排在第三、四位置时，有C12C12A12A22＝16种执行方案．由分类加法计数原理，不同的执行方案有12＋16＋16＝44种．答案：B角度定序问题[典例2](一题多解)某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．解析：法一添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A1010A77＝720(种)．法二将10个节目看作10个元素排列位置．在10个位置中选7个按一定顺序排列，有C710种排法，其余3个位置进行全排列，有A33种排法，所以共有C710A33＝720(种)．答案：720角度分组、分配问题[典例3](2020·广州天河模拟)安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A．360种B．300种C．150种D．125种解析：由题意，分两步完成①将5名学生分成三组若分成2，2，1的三组，有C25C23C11A22＝15(种)，若分成3，1，1的三组，有C35C12C11A22＝10(种)，则一共有15＋10＝25种分组方法；②将分好的3组全排列，对应3家单位，有A33＝6种情况．根据分步乘法计数原理，则不同的分配方法共有25×6＝150(种)．答案：C1．解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：a.不均匀分组；b.均匀分组；c.部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．1．(角度1，2)我国自主研制的第一艘航空母舰“山东舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为()A．24B．36C．48D．96解析：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法：②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24种情况(即24种不同着舰方法)．由分类加法计数原理，共有24＋24＝48种不同着舰方法．答案：C2．(角度3)(2020·河北衡水中学检测)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查，若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为()A．36B