2021高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第5节 空间向量课件

第七章立体几何与空间向量第5节空间向量课程标准考情索引核心素养1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．探索并得出空间两点间的距离公式．2.了解空间向量的概念，能把平面向量的运算及其法则推广到空间向量．3.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示.2019·全国卷Ⅰ，T182019·全国卷Ⅱ，T172019·全国卷Ⅲ，T192018·全国卷Ⅰ，T182018·全国卷Ⅱ，T202018·全国卷Ⅲ，T191.直观想象2.数学运算1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念．①两向量的夹角．已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．项目向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b231．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．3．向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．4．在利用MN→＝xAB→＋yAC→证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)若a·b0，则〈a，b〉是钝角．()解析：对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b＜0，故(4)不正确．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2.(人A选修2－1·习题改编)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案：A3．(人A选修2－1·习题改编)已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是_______．解析：a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，cosθ＋sinθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)，所以(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是π2.答案：π2[典题体验]4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：由题意得，AB→＝(－3，－3，3)，CD→＝(1，1，－1)，所以AB→＝－3CD→，所以AB→与CD→共线，又点C不在直线AB上，所以AB∥CD.答案：B5．(2020·烟台模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为()A.55B.53C.255D.35解析：设CA＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量AB1→＝(－2，2，1)，BC1→＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1→，BC1→〉＝0＋4－14＋4＋1×0＋4＋1＝55，故选A.答案：A6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→＝34OA→＋18OB→＋tOC→，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．解析：因为P，A，B，C四点共面，所以34＋18＋t＝1，所以t＝18.答案：18考点1空间向量的线性运算(自主演练)1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为N是BC的中点，所以BN→＝12BC→＝12AD→＝12c，则A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12c.(3)因为M是AA1的中点，所以MA→＝－12AA1→＝－12a，则MP→＝MA→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋12c＋a＝32a＋12b＋32c.2.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，求x＋y＋z.解：连接ON，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12b＋12c－12a，OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12a＋2312b＋12c－12a＝16a＋13b＋13c.又OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，所以x＝16，y＝13，z＝13，因此x＋y＋z＝16＋13＋13＝56.1．选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求．用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行计算．2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．温馨提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．考点2共线定理、共面定理的应用(讲练互动)[典例]如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解：(1)因为AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，所以MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，所以由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→、AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.1．证明空间三点P，A，B共线的方法．(1)PA→＝λPB→(λ∈R)．(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)．(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法．(1)MP→＝xMA→＋yMB→.(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)．(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．(2020·青岛二中检测)有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①正确；②中，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中，若M，A，B三点共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确．答案：B考点3空间向量的数量积及应用(典例迁移)[典例](经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EG→·BD→.解：设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，所以EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝－12a·c＋12a2＝－14＋12＝14.(2)EG→＝EB→＋BC→＋CG→＝12AB→＋(AC→－AB→)＋12(AD→－AC→)＝－12AB→＋12AC→＋12AD→＝－12a＋12b＋12c，BD→＝AD→－AB→＝c－a.所以EG→·BD→＝－12a＋12b＋12c·(c－a)＝12a2－12a·b＋12b·c＋12c2－a·c＝12－14＋14＋12－12＝12.[迁移探究]1．本例的条件不变，求证：EG⊥AB.证明：由典例知EG→＝12(AC→＋AD→－AB→)＝12(b＋c－a)，所以EG→·AB→＝12(a·b＋a·c－a2)＝12(1×1×12＋1×1×12－1)＝0.故EG→⊥AB→，即EG⊥AB.2．本例的条件不变，求EG的长．解：由典例知EG→＝－12a＋12b＋12c，|EG→|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|EG→|＝22，即EG的长为22.3．本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值．解：由典例知AG→＝12b＋12c，CE→＝CA→＋AE→＝－b＋12a，cos〈AG→，CE→〉＝AG→·CE→|AG→||CE→|＝－23，由