2021高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第4节 数系的扩充与复数的引入课件

第六章平面向量与复数第4节数系的扩充与复数的引入课程标准考情索引核心素养1.理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义．2.会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2019·全国卷Ⅰ，T22019·全国卷Ⅲ，T22018·全国卷Ⅰ，T12018·全国卷Ⅱ，T12018·全国卷Ⅲ，T21.数学运算2.直观想象1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：项目满足条件(a，b为实数)a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0复数的分类a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i．z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→．1．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系：z·z—＝|z|2＝|z—|2.4．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)若z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，z是纯虚数．()(3)复平面内原点是实轴与虚轴的交点．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()解析：(1)虚部为b.(2)当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A选修2－2·习题改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．2C．1或2D．－1解析：依题意，有a2－3a＋2＝0，a－1≠0，解得a＝2.答案：B3．(人A选修2－2·习题改编)已知(1＋2i)z—＝4＋3i，则z＝________．解析：因为z—＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i，所以z＝2＋i.答案：2＋i[典题体验]4．(2020·衡水中学模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z＋3i＝a＋ai，若复数z是纯虚数，则()A．a＝3B．a＝0C．a≠0D．a0解析：由z＋3i＝a＋ai，得z＝a＋(a－3)i.又因为复数z是纯虚数，所以a＝0，a－3≠0，解得a＝0.答案：B5．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题意，得z＝－1－2i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．答案：C6．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2解析：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝1－2i－12＋2i＝i，所以|z|＝1.答案：C考点1复数的概念(自主演练)1．(2020·江西重点中学盟校联考)设x∈R，i是虚数单位，则“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数，得x2－4＝0，x＋2≠0，解得x＝2，所以“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的充要条件．答案：B2．设i是虚数单位，若复数z满足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是()A．0B．1C．2D．3解析：由复数z满足zi＝－1＋i，得z＝－1＋ii＝（－1＋i）ii·i＝1＋i.故复数z的实部与虚部的和是1＋1＝2.答案：C3．(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．解析：因为a－i2＋i＝（a－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝2a－1－（a＋2）i5＝2a－15－a＋25i为实数，所以－a＋25＝0，解得a＝－2.答案：－24．(多选题)(2017·全国卷Ⅰ改编)设有下面四个命题，其中的命题是假命题的为()A．若复数z满足1z∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈RC．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z—2D．若复数z∈R，则z—∈R解析：取z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故命题B不正确；取z1＝i，z2＝2i，则z—2＝－2i，z1z2＝－2∈R，但z1≠z—2，故命题C不正确．易知A，D为真命题．答案：BC1．复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，解题时只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2复数的运算(讲练互动)[典例1](一题多解)(2019·全国卷Ⅲ改编)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12B.22C.2D．2解析：法一由(1＋i)z＝2i，得z＝2i1＋i＝1＋i，所以|z|＝2.法二因为2i＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，所以|z|＝2.答案：C[典例2](2020·韶关联考)若复数z＝1＋i1－i，z—为z的共轭复数，则(z—)2019＝()A．iB．－iC．－22019iD．22019i解析：因为z＝1＋i1－i＝（1＋i）22＝i，所以z—＝－i.(z—)2019＝(－i)2019＝(－i)3＝i.答案：A1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度．(1)(1±i)2＝±2i.(2)1＋i1－i＝i.(3)1－i1＋i＝－i.(4)－b＋ai＝i(a＋bi)．(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N*)．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解析：1＋2i1－2i＝（1＋2i）2（1－2i）（1＋2i）＝－3＋4i5＝－35＋45i.答案：D2．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2解析：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝|i|＝1.故选C.答案：C3．复数1＋i1－i6＋2＋3i3－2i＝________．解析：原式＝（1＋i）226＋（2＋3i）（3＋2i）（3）2＋（2）2＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.答案：－1＋i考点3复数的几何意义(讲练互动)[典例1](2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：因为(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又因为复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，所以a＋10，1－a0，解得a－1.答案：B[典例2](2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：依题意可得z＝x＋yi，因为|z－i|＝1，故x2＋（y－1）2＝1，即x2＋(y－1)2＝1.答案：C[典例3]△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心解析：由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，则z对应的点是△ABC的外心．答案：D1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)\OZ→＝(a，b)．2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z—对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z—＝－3－2i，与点(－3，－2)对应，故在复平面内z—对应的点位于第三象限．答案：C2.(2020·东莞质检)如图，若向量OZ→对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为()A．1＋3iB．－3－iC．3－iD．3＋i解析：由图形知，点Z(1，－1)，所以z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41－i＝1－i＋4（1＋i）2＝3＋i.答案：D