2021高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算课件

第六章平面向量与复数第1节平面向量的概念及线性运算课程标准考情索引核心素养1.了解向量的实际背景；理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；理解平面向量的几何表示和基本要素．2.掌握向量加法、减法运算及运算法则，理解其几何意义．3.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.2018·全国卷Ⅰ，T62018·全国卷Ⅲ，T132017·全国卷Ⅱ，T122017·全国卷Ⅰ，T131.直观想象2.数学运算3.逻辑推理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反，当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．4．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)零向量与任意向量平行．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之也成立．()解析：(2)若b＝0，则a与c不一定平行．()(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.答案：b－a－a－b3．(人A必修4·习题改编)在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为____．解析：如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形[典题体验]4.(2020·菏泽一中月考)如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→解析：因为CD→＝AF→，EF→＝CB→，所以BA→＋CD→＋EF→＝CB→＋BA→＋AF→＝CF→.答案：D5．(2020·西安调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________．解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以1－2k＝0，k＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－12.答案：－12考点1平面向量的概念(自主演练)1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|＝|DC→|，AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.③正确．因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.答案：A2．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是()A．a＝bB．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b|D．a∥b且方向相同解析：a|a|表示a方向的单位向量，因此a|a|＝b|b|的充要条件是a与b同向．答案：D3．给出下列说法：①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；②若AB→与BC→共线，则A，B，C三点在同一条直线上；③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误说法的序号是________．解析：根据向量的有关概念，①②③正确，对于④若λ＝μ＝0时，λa＝μb，但a，b可以是任意向量，不一定a与b共线．④错．答案：④1．相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．2．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小．3．单位向量的关键是长度都是一个单位长度．4．零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量平行．5．向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等．解题时要与函数图象的平移区别开来．考点2平面向量的线性运算(多维探究)角度向量的线性运算[典例1](2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→解析：作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.答案：A1．灵活运用向量加、减法中的平行四边形法则和三角形法则．2．充分利用平面几何知识，发掘直线的平行关系和线段的比例关系．必要时，可添加辅助线．角度利用向量线性运算求参数[典例2](2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若DO→＝λAB→＋μAC→，其中λ，μ∈R，则λμ＝()A．－2B．－12C．－2D.2解析：DO→＝DA→＋AO→＝CB→＋AO→＝AB→－AC→＋12AC→＝AB→－12AC→.所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.答案：A1．解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置．(2)寻找相应的三角形或多边形．(3)运用法则找关系．(4)化简结果．1．(角度1)(2020·山东菏泽质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5－12.下列关系中正确的是()A.BP→－TS→＝5＋12RS→B.CQ→＋TP→＝5＋12TS→C.ES→－AP→＝5－12BQ→D.AT→＋BQ→＝5－12CR→解析：由题意得，BP→－TS→＝TE→－TS→＝SE→＝RS→5－12＝5＋12RS→，所以A正确.CQ→＋TP→＝PA→＋TP→＝TA→＝5＋12ST→，所以B错误.ES→－AP→＝RC→－QC→＝RQ→＝5－12QB→，所以C错误.AT→＋BQ→＝SD→＋RD→，5－12CR→＝RS→＝RD→－SD→，若AT→＋BQ→＝5－12CR→，则SD→＝0，不合题意，所以D错误．答案：A2．(角度2)(2020·安庆调研)如图所示，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为()A.29B.27C.25D.23答案：A考点3共线向量定理及其应用(讲练互动)[典例]设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解：假设ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.1．证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．(一题多解)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立的实数x的取值集合为()A．{0}B．∅C．{－1}D．{0，－1}解析：法一若要x2OA→＋xOB→＋BC→＝0成立，BC→必须与x2OA→＋xOB→共线，由于OA→－OB→＝BA→与BC→共线，所以OA→和OB→的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0或x＝－1，而当x＝0时，BC→＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1.法二因为BC→＝OC→－OB→，所以x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，即OC→＝－x2OA→－(x－1)OB→，因为A，B，C三点共线，所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2OA→＋xOB→＋BC→＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1.答案：C