搜索
第九章统计与统计案例第1节获取数据的基本途径及随机抽样课程标准考情索引核心素养1.知道获取数据的基本途径，理解随机抽样的必要性与随机性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.2019·全国卷Ⅰ，T62018·全国卷Ⅲ，T142017·江苏卷，T31.数据分析2.数学运算1．获取数据的基本途径获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．2．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．3．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体编号．(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn是整数时，取k＝Nn，当Nn不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝N′n(N′为从总体中剔除余数后的总数)．(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．4．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个数，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制．2．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是nN.3．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(3)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．()(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修3·习题改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体．答案：A3．(人A必修3·习题改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为()A．40B．60C．80D．120解析：因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B层中每个个体被抽到的概率都为112，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112，所以总体中的个体数为10112＝120.答案：D[典题体验]4．(2020·江门质检)甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次调研测试．为了解学生的能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本做卷面分析，记这项调查为①；在丙校有50名培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法解析：①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样法，②在同一所学校，且人数较少时，使用的是简单随机抽样法．答案：B5．(2020·石家庄一中检测)某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为140D．都相等，且为502019解析：由题意，每名同学入选的概率都相等，且p＝20002019×502000＝502019.答案：D6．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样考点1简单随机抽样(自主演练)1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0B．1C．2D．3解析：①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．答案：A2．(2020·日照一中月考)总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为()附：第6行至第9行的随机数表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3B．16C．38D．20解析：按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，49，32，….因此选出的第3个个体的编号为20.答案：D3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.14B.13C.514D.1027解析：根据题意得，9n－1＝13，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为1028＝514.答案：C1．简单随机抽样的特点．(1)抽取的个体数较少；(2)逐个抽取；(3)不放回抽取；(4)等可能抽取；只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．2．抽签法与随机数表法的适用情况．(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．考点2系统抽样(讲练互动)[典例1](2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生解析：根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为1000100＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.答案：C[典例2](2020·东莞调研)有24名投资者想到某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为1～24号，再用系统抽样方法抽出6名投资者，邀请他们到实施进行考察．其中年龄不超过55岁的人数为()A.1B．2C．3D．4解析：由系统抽样，将24名投资者分成6组，每组4人，根据茎叶图知，投资者中年龄不超过55岁的共8人，共2组．所以根据系统抽样，需抽取年龄不超过55岁的为2人．答案：B1．如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝Nn，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN.2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．1．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A．16B．17C．18D．19解析：因为从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为100040＝25，设第一组随机抽取的号码为x，则抽取的第18组的号码为x＋17×25＝443，所以x＝18.故选C.答案：C2．(2020·华南师大附中月考)将参加夏令营的400名学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的第1个号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为()A．18，12，10B．20，12，8C．17，13，10D．18，11，11解析：根据系统抽样特点，知抽样间隔为40040＝10，被抽到的号码为l＝10k＋3，k∈Z.由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，第二营区的编号为181到295，则181≤10k＋3≤295.所以18≤k≤29，且k∈Z，则第二营区抽12人．因此第三营区抽取40－(12＋18)＝10(人)．所以三个营区抽取的人数分别为18人，12人，10人．答案：A考点3分层抽样及其应用(多维探究)角度求某层入样的个体数[典例1](2020·广州名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数)．解析：依题意，交钱的抽样比为100560＋350＋180＝10109，所以丙应该出钱为180×10109≈17(钱)．答案：17角度求总体或样本总量[典例2]某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于()A．12B．18C．24D．36解析：根据分层柚样方法知n960＋480＝24960，解得n＝36.答案：D[典例3](2020·江南名校联考)某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为()A．110B．100C．900D．800解析：因为员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，所以从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2.设C组员工总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为C22C2m＝2m（m－1）＝145，则m＝10.设员工总数为x，则由10x＝15＋4＋1＝110，可得x＝100.答案：D1．分层抽样中分多少层，