2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9.1 直线与圆锥曲线课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.3．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤二、必明2个易误点1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．()(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．()√××√2．[教材习题改编]直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C4．[2020·韶关检测]已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为()A．1B.2C.3D．22解析：由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2,22)，故直线l的斜率为22，选D.答案：D5．[2020·石家庄摸底考试]已知抛物线C：y2＝2px(p0)，直线l：y＝3(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝163，则p＝________.解析：由y2＝2px，y＝3x－1，消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2p＋63，x1x2＝1，所以|AB|＝2x1＋x22－4x1x2＝22p＋629－4＝163，解得p＝2.答案：2第一课时直线与圆锥曲线考点一直线与圆锥曲线的位置关系[自主练透型]1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．1或0解析：由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.答案：D2．[2020·武汉调研]已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为()A.0，52B.1，52C.－52，52D.1，52解析：通解联立，得x2－y2＝4，y＝kx－1，消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以k≠±1，设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ0，x1＋x20，x1x20，即2k2＋201－k20，－2k1－k20，－51－k20，整理得4k25，kk－1k＋10，k21，整理1k52，所以实数k的取值范围是1，52，故选D.优解因为直线y＝kx－1恒过定点(0，－1)，双曲线x2－y2＝4的渐近线方程为y＝±x，要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k1.当直线y＝kx－1与双曲线的右支相切时，方程kx－1＝x2－4，即(1－k2)x2＋2kx－5＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(2k)2＋20(1－k2)＝0，得k＝52(负值舍去)，结合图象可知，要使直线y＝kx－1与双曲线的右支有两个交点，则需k52.综上，实数k的取值范围是1，52，故选D.答案：D悟·技法1.直接与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.考点二弦长问题[互动讲练型][例1][2020·洛阳统一考试]已知F是抛物线C1：y2＝2px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，p2为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则|AB||CD|＝()A．16B．4C.83D.53解析：解法一因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝p2，所以|AB||CD|＝|AF|－p2|DF|－p2.由抛物线的定义得|AF|－p2＝xA，|DF|－p2＝xD.由4x－3y－2p＝0，y2＝2px整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝p8，故|AB||CD|＝xAxD＝2pp8＝16.故选A.解法二同解法一得|AB||CD|＝|AF|－p2|DF|－p2.过A，D作抛物线准线的垂直，垂足分别为A1，D1，该直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FN∥AA1得|EF||EA|＝|NF||AA1|，由直线AF的斜率为43得tan∠A1AF＝43，故|AA1||AE|＝35.又|AA1|＝|AF|，故|NF||AA1|＝|EF||EA|＝25，所以|AF|＝|AA1|＝52|NF|＝52p.同理可得|DD1||NF|＝|ED||EF|，又|DD1|＝|DF|，所以|DD1||NF|＝53|NF|－|DD1|53|NF|，故|DF|＝|DD1|＝58|NF|＝58p，故|AB||CD|＝52p－p258p－p2＝218＝16.故选A.答案：A悟·技法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·唐山摸底考试]过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.解析：设AF的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋p2＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋p2＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.答案：42．[2020·沈阳模拟]已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为__________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组y＝2x－1，x25＋y24＝1消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0.则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋22[x1＋x22－4x1x2]＝1＋22532－4×0＝553.答案：553考点三中点弦问题[互动讲练型][例2][2020·江西模拟]已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a0，b0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－32，则ab的值为()A．－32B．－233C．－932D．－2327解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax21＋by21＝0①，ax22＋by22＝0②，由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，∴y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝－ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝y0x0＝2y02x0＝y1＋y2x1＋x2＝－32，又知kAB＝－1，∴－32×(－1)＝－ab，∴ab＝－32，故选A.答案：A悟·技法处理中点弦问题常用的求解方法(1)用“点差法”求解．(2)用“根与系数的关系”求解：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为__________．解析：解法一易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y－1＝kx－1，x24＋y22＝1消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝4kk－12k2＋1，又∵x1＋x2＝2，∴4kk－12k2＋1＝2，解得k＝－12.故此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.解法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y212＝1①，x224＋y222＝1②，①－②得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y22＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x1－x22＋y1－y2＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝04．[2020·山东聊城模拟]已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y