2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理

【知识重温】一、必记4个知识点1．直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式――→判别式Δ＝b2－4acΔ＞0⇔①_____Δ＝0⇔②_____Δ＜0⇔③_____(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④_____；d＝r⇔⑤_____；d＞r⇔⑥_____．相交相切相离相交相切相离2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦_______________.3．直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧__________，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．x0x＋y0y＝r2d2＋l224．两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)的圆心距为d，则(1)d＞r1＋r2⇔两圆⑨_____；(2)d＝r1＋r2⇔两圆⑩_____；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪_____；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫_____；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬_____．外离外切相交内切内含二、必明2个易误点1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()×××√2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2×1－2－5|22＋12＝56且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：B3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．答案：B4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案：C5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心坐标为(2，－1)，r＝2，所以圆心到直线的距离为d＝|2＋2×－1－3|5＝355，∴弦长l＝2r2－d2＝2555.答案：2555考点一直线与圆的位置关系[自主练透型]1．[2020·山东新泰一中月考]直线ax＋by－a－b＝0(a2＋b2≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交或相切D．相交解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离为|a＋b|a2＋b2，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离|a＋b|a2＋b2≤2，所以直线与圆相交或相切，故选C.答案：C2．[2020·大连市双击测试]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是__________．解析：解法一将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3)．解法二圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即2k2＋1＞1，解得k∈(－3，3)．答案：k∈(－3，3)悟·技法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的切线与弦长问题[互动讲练型][例1](1)[2020·陕西质量检测]已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是()A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0解析：(1)解法一因为圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4.如图，在平面直角坐标系中画出圆C，显然过点M的圆C的其中一条切线的方程为x＋2＝0，另一条切线的斜率小于0，可知选C.解法二因为圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4，易得过点M的圆C的其中一条切线的方程为x＋2＝0，设另一条切线的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则|2k－3＋2k|k2＋1＝4，解得k＝－724，故另一条切线的方程为y＝－724(x＋2)，即7x＋24y＋14＝0.综上，选C.答案：(1)C(2)[2018·全国卷Ⅰ]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：(2)由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22.答案：(2)22悟·技法1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.提醒：若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·安徽皖东四校联考]若直线l：4x－ay＋1＝0与圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，则实数a的值为()A.1528B.2815C.1528或1D.2815或1解析：据题意，得圆心C(－2,2)到直线l：4x－ay＋1＝0的距离d＝|－2×4＋－a×2＋1|16＋a2＝2，解得a＝1528.故选A.答案：A2．[2020·湖北八校联考]已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是()A．x2＋(y－3)2＝18B．x2＋(y＋3)2＝18C．x2＋(y－4)2＝25D．x2＋(y＋4)2＝25解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为32，b2，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×32－b2－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r＝|CM|＝0－32＋4－02＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C.答案：C考点三圆与圆的位置关系[互动讲练型][例2]已知两圆C1:x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解析：(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝11，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，∴|r1－r2|dr1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.悟·技法1.判断两圆位置关系的方程常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解(如本例2).[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2020·安徽黄山五校联考]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：将圆M的方程化为x2＋(y－a)2＝a2，则圆心M(0，a)，半径r1＝a.M到直线x＋y＝0的距离d＝a2，则a22＋2＝a2，得a＝2，故M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心N(1,1)，半径r2＝1，所以|MN|＝2，而|r1－r2||MN||r1＋r2|，所以两圆相交．故选B.答案：B4．若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为()A．1B．11C．121D．1或121解析：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1,0)，半径为m；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得32＋42＝|m－6|，解得m＝1或121.故选D.答案：D微专题(十八)圆与一些知识的交汇[例](1)已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(3cosβ，3sinβ)，若m与n的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋12＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是()A．相交B．相交且过圆心C．相切D．相离(2)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值为__________．解析：(1)由向量的夹角公式得cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝12，圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离d＝|cosβcosα＋sinβsinα＋12|cos2α＋sin2α＝1＞22，∴直线与圆相离．(2)∵A∩B中有且仅有一个元素，∴两圆x2＋y2＝4，(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，5＝|r－2|，∴r＝7；当两圆外切时，5＝|r＋2|，∴r＝3.答案：(1)D(2)7或3名师点评1．直线、圆与其他知识的交汇成为高考的热点，本例是直线、圆、平面向量与三角函数的交汇，直线、圆还经常与不等式、集合等知识交汇．2．解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．[变式练]在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．解析：本题考查直线与圆的位置关系．设A(a,2a)，a0，则Ca＋52，a，∴圆C的方程为