2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②____的圆．(a，b)r2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③__________，半径为④________________的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤________；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．－D2，－E212D2＋E2－4F－D2，－E23．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥____；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦____；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧____.r2＞r2＜r2二、必明1个易误点对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F0这一成立条件．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()√××2．圆M：x2＋y2＋2x＋23y－5＝0的圆心坐标为()A．(1，3)B．(1，－3)C．(－1，3)D．(－1，－3)解析：x2＋y2＋2x＋23y－5＝0配方得(x＋1)2＋(y＋3)2＝9，故圆心坐标为(－1，－3)，选D.答案：D3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a1或a－1D．a＝±1解析：∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(1＋a)24，即－1a1.答案：A5．[教材习题改编]圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝－1＋12＝0，b＝2＋42＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝12|AB|＝12[1－－1]2＋4－22＝2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝2.考点一求圆的方程[自主练透型]1．[2020·石家庄质检]若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A2．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析：因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.答案：D3．[2020·广东珠海联考]已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|2＝|a－－a－4|2，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.答案：B悟·技法1.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.考点二与圆有关的最值问题[互动讲练型][例1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.悟·技法与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.[变式练]——(着眼于举一反三)1．若本例中的条件不变．(1)求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解析：(1)∵圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝|6＋12|5＝185，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－3.(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.考点三与圆有关的轨迹问题[互动讲练型][例2]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.悟·技法求与圆有关的轨迹问题的四种方法[变式练]——(着眼于举一反三)2．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．解析：(1)设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32(x≠3且x≠1)，y＝y0＋02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．