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【知识重温】一、必记2个知识点1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①____与直线l②____________之间所成的③____________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.正向向上方向最小正角0°≤α＜180°(2)斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥____________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．(3)斜率公式当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦_______________________．(4)直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧_____________________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________．正切值k＝tanαy2－y1x2－x1(其中x1≠x2)(x2－x1，y2－y1)(1，k)2．直线方程的几种基本形式名称方程适用范围斜截式⑩____________不能表示垂直于x轴的直线点斜式⑪____________不能表示垂直于x轴的直线两点式⑫____________不能表示垂直于坐标轴的直线截距式⑬____________不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式⑭____________能表示平面上任何直线y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)二、必明4个易误点1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()××××√2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：∵kMN＝m－4－2－m＝1，∴m＝1.答案：A3．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由直线方程得y＝3x＋a，所以斜率k＝3，设倾斜角为α.所以tanα＝3，又因为0°≤α180°，所以α＝60°.答案：B4．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.答案：D5．经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为______________________．解析：经过两点M(1，－2)，N(－3,4)的直线方程为y＋24＋2＝x－1－3－1，即3x＋2y＋1＝0.答案：3x＋2y＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率[自主练透型]1．[2020·河北衡水模拟]过不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为()A．－1B．－2C．－1或2D．1或－2解析：过A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)两点的直线l的斜率k＝m2－3－2mm2＋2－3＋m＋m2.∵直线l的倾斜角为45°，∴k＝m2－3－2mm2＋2－3＋m＋m2＝1，解得m＝－1或m＝－2.当m＝－1时，A、B重合，故舍去，∴m＝－2.故选B.答案：B2．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－2k.令－31－2k3，解得k－1或k12.答案：(－∞，－1)∪12，＋∞悟·技法1.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(α≠90°)(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．2．斜率取值范围的三种求法(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.考点二直线的方程[互动讲练型][例1]根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)．k＝tanα＝±13，故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.悟·技法求直线方程的关注点在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.[变式练]——(着眼于举一反三)1．求适合下列条件直线方程．(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14倍；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．解析：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.考点三直线方程的综合应用[互动讲练型][例2]直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．解析：解法一依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝4－k且k0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.解法二依题意，l的截距都存在，且不为0，设l的方程为xa＋yb＝1，∵过P(1,4)，∴1a＋4b＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋4b＝5＋ba＋4ab≥5＋24＝9当且仅当a＝3，b＝6时，取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.悟·技法直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.[变式练]——(着眼于举一反三)2．在本例条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．解析：|PA|·|PB|＝4k2＋16·1＋k2＝－4k(1＋k2)＝41－k＋－k≥8.(k0)∴当且仅当1－k＝－k且k0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.