2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第6节 对数与对数函数课件

第二章函数第6节对数与对数函数课程标准考情索引核心素养1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y＝ax与对数函数＝logax互为反函数(a0，且a≠1).2019·全国卷Ⅲ，T112019·天津卷，T62019·北京卷，T72019·上海卷，T62018·全国卷Ⅰ，T131.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1．对数的概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算法则．如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)．3．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质.项目a＞10＜a＜1图象定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0性质在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．3．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．1．换底公式的两个重要结论．(1)logab＝1logba.(2)logambn＝nmlogab.其中a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1，m，n∈R.2．在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(4)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.()解析：(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错．(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错．(4)当x＞1时，若logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人教A必修1·习题改编)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A．0B．2C．4D．6解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.答案：D3．(人A必修1·习题改编)函数f(x)＝ln(1＋1x)＋1－x2的定义域为________．解析：要使函数f(x)有意义，则1＋1x0，x≠0，1－x2≥0，⇒x－1或x0，x≠0，－1≤x≤1，⇒0x≤1.所以f(x)的定义域为(0，1]．答案：(0，1][典题体验]4．(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．bcaD．cab解析：显然c＝0.30.2∈(0，1)．因为log33log38log39，所以1b2.因为log27log24＝2，所以a2.故cba.答案：A5．(2020·衡水中学月考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a1，c1B．a1，0c1C．0a1，c1D．0a1，0c1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a1.又当x＝0时，y0，即logac0，所以0c1.答案：D6．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________．解析：当x0时，f(x)＝－eax，且ln20，所以f(－ln2)＝－ea(－ln2)＝－(eln2)－a＝－2－a.又f(x)为奇函数，所以f(－ln2)＝－f(ln2)＝－8，则－2－a＝－8，所以a＝－3.答案：－3考点1对数的运算(自主演练)1．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100解析：由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.答案：A2．(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1解析：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由条件m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝52lgE1E2，得52lgE1E2＝－1.45＋26.7＝25.25.所以lgE1E2＝25.25×25＝10.1，所以E1E2＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.答案：A3．计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________．解析：原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.答案：11．在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．考点2对数函数的图象及应用(讲练互动)[典例1](2020·南昌调研)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是()解析：由lga＋lgb＝0，得ab＝1，所以f(x)＝a－x＝1b－x＝bx，因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同，A、B、D中单调性相反，只有C同为增函数．答案：C[典例2]已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．故实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0，0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．答案：C2．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0clg10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)考点3对数函数的性质及应用(多维探究)角度对数函数的性质[典例1](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0，2)上单调递增B．f(x)在(0，2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称解析：f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，所以f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．所以选项A，B错误．因为f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确．因为f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，所以f(x)的图象不关于点(1，0)对称，所以选项D错误．答案：C角度比较大小或解不等式[典例2](2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．cab解析：因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log55＝0.5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51c＝0.50.20.50＝1，即0.5c1.所以acb.答案：A[典例3]已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)1，且8－2a0，解得1a83.当0a1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)1，且8－2a0.所以8－aa，且8－2a0，此时解集为∅.综上可知，实数a的取值范围是1，83.答案：1，83角度对数型函数性质的综合应用[典例4](2020·济南调研)已知函数f(x)＝log212x＋a.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，则a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x在R上是奇函数．所以a＝0为所求的值．(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则12x＋a0恒成立．即a－12x恒成立，由于－12x∈(－∞，0)，故只需a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log212＋a.由题设得log2(1＋a)－log212＋a≥2，则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．所以1＋a≥4a＋2，4a＋20.解之得－12a≤－1