2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性课件

第二章函数第3节函数的奇偶性与周期性课程标准考情索引核心素养1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，会判断函数的奇偶性.2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.2019·全国卷Ⅱ，T62019·北京卷，T132018·全国卷Ⅱ，T122017·全国卷Ⅰ，T51.数学抽象2.逻辑推理3.数学运算1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．2．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3．函数周期性常用结论．对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a＞0)．4．对称性的三个常用结论．(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．()解析：(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错．(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错．(3)由周期函数的定义知(3)正确．(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A必修第一册·习题改编)下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．答案：B3．(人A必修4·习题改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝________．解析：因为f(x)的周期为2，所以f32＝f－12，又因为当－1≤x＜0时，f(x)＝－4x2＋2，所以f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案：1[典题体验]4．(2020·潍坊一中月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13.答案：B5．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：当x0时，－x0，因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.答案：D6．(2020·青岛一中月考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋2，则f32＝________．解析：由f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(x)，所以f32＝f－12＝f12.又x∈[0，1]时，f(x)＝x＋2.故f32＝f12＝12＋2＝52.答案：52考点1函数的奇偶性(讲练互动)[典例]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.解：(1)由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由1－x2＞0，|x－2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．所以x－2＜0，所以|x－2|－2＝－x，所以f(x)＝lg（1－x2）－x.又因为f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A．y＝|log3x|B．y＝x3C．y＝e|x|D．y＝cos|x|解析：对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数．对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确．对于D选项，y＝cos|x|在(0，1)上单调递减．答案：C2．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数解析：令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2（2x－1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2（2－x－1）＝x（1＋2x）2（2x－1）＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．令F(x)＝f(x)g(x)＝x22（2x－1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝（－x）22（2－x－1）＝x2·2x2（1－2x）.因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．答案：A3．(2020·东莞中学检测)已知f(x)＝2x＋a2x为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝()A.174B.52C．－154D．－32解析：由f(x)＝2x＋a2x为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝0，即2x＋a2x＋2－x＋a2－x＝0，可得a＝－1.由g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b＝1.则ab＝－1，f(ab)＝f(－1)＝2－1－12－1＝－32.答案：D考点2函数的周期性及其应用(自主演练)1．函数f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝f(x)．故f(x)的最小正周期为π.答案：C2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f（x），则f(2020)＝_____．解析：由f(x＋2)＝1－f（x），得f(x＋4)＝1－f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．又f(2)＝2－3.所以f(4)＝－1f（2）＝－12－3＝－2－3.故f(2020)＝－2－3.答案：－2－33．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝____．解析：当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]．又f(x)在R上是以2为周期的偶函数．所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x)．答案：log2(3－x)4．(2020·衡水中学检测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为_____．解析：因为当0≤x2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．答案：71．根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．2．若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期．考点3函数性质的综合应用(多维探究)角度函数的单调性与奇偶性[典例1]设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)f(2x－1)成立的x的取值范围为________．解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)f(2x－1)，可得f(|x|)f(|2x－1|)．当x0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)f(|2x－1|)，可得|x||2x－1|，两边平方可得x2(2x－1)2，整理得3x2－4x＋10，解得13x1.所以符合题意的x的取值范围为13，1.答案：13，11．函数单调性与奇偶性的综合题目需注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程．角度奇偶性与周期性的活用[典例2]已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝π3，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝()A.π