2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第5节 椭圆 第2课时 直线与椭圆课件

第八章平面解析几何第2课时直线与椭圆考点1直线与椭圆的位置关系(讲练互动)[典例]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．1．研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．2．对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．(一题多解)若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m1B．m0C．0m5且m≠1D．m≥1且m≠5解析：法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则01m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.法二由y＝kx＋1，mx2＋5y2－5m＝0，消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m0且m≠5，所以m≥1且m≠5.答案：D考点2弦长及弦中点问题(多维探究)角度弦长问题[典例1](2018·北京卷节选)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．解：(1)由题意得2c＝22，c＝2.因为e＝ca＝63，所以a＝3，则b2＝a2－c2＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝x＋m，x23＋y2＝1，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.所以|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝2（x2－x1）2＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝12－3m22.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．3．利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．角度弦中点问题[典例2](2020·南宁模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在直线方程是x－y＋5＝0，弦中点为M(－4，1)，则椭圆的离心率是()A.12B.22C.32D.55解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆x2a2＋y2b2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点为M(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝1.由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得，（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2，所以b2a2＝14，于是椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝32.答案：C弦及弦中点问题的解决方法1．根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点．2．点差法：利用弦两端点结合椭圆方程，作差构造中点、斜率．1．(角度1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：法一由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，由y＝2（x－1），x25＋y24＝1消去y，得3x2－5x＝0，故得A(0，－2)，B53，43，则|AB|＝0－532＋－2－432＝553.法二由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，由y＝2（x－1），x25＋y24＝1，消去y得3x2－5x＝0，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2＝0，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋22）532－4×0＝553.答案：5532．(角度2)已知椭圆：y29＋x2＝1，过点P12，12的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆y29＋x2＝1上，所以y219＋x21＝1，y229＋x22＝1，两式相减得y21－y229＋x21－x22＝0，即（y1－y2）（y1＋y2）9＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P12，12平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－y29＋x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－12＝－9x－12，即9x＋y－5＝0.答案：B考点3最值与范围问题(讲练互动)[典例](2020·淄博模拟)在平面xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P(2，1)，且离心率e＝32.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l方程为y＝12x＋m，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．解：(1)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点P(2，1)，且离心率e＝32，可得：4a2＋1a2－c2＝1，ca＝32，解得a＝22，c＝6，则b＝2，椭圆方程为：x28＋y22＝1.(2)直线方程为y＝12x＋m，A(x1，y1)、B(x2，y2)，联立方程组y＝12x＋m，x28＋y22＝1，整理得：x2＋2mx＋2m2－4＝0，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，直线与椭圆要有两个交点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)0，即－2m2，利用弦长公式得：|AB|＝1＋14×4m2－4（2m2－4）＝5（4－m2），P到l的距离d＝2|m|5，S＝12|AB|·d＝12·5（4－m2）·2|m|5＝m2（4－m2）≤m2＋（4－m2）2＝2，当且仅当m2＝2，即m＝±2时取到最大值，最大值为2.最值与范围问题的解题思路1．构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解．2．构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解决过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于32，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．(1)求椭圆E的方程；(2)若AP→＝3PB→，求m2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，焦距为2c，由已知得ca＝32，所以c＝32a，b2＝a2－c2＝a24.因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45，所以4a2＋b2＝25a＝45，所以a＝2，b＝1.所以椭圆E的方程为x2＋y24＝1.(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，联立y＝kx＋m，4x2＋y2－4＝0，消去y得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)0，即k2－m2＋40，且x1＋x2＝－2kmk2＋4，x1x2＝m2－4k2＋4.由AP→＝3PB→得x1＝－3x2.所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x22－12x22＝0.即12k2m2（k2＋4）2＋4（m2－4）k2＋4＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，所以k2＝4－m2m2－1.因为k2－m2＋40，所以4－m2m2－1－m2＋40，即（4－m2）m2m2－10.所以1m24.所以m2的取值范围是(1，4)．