2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系课件

第八章平面解析几何第2节两直线的位置关系课程标准考情索引核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2019·全国卷Ⅰ，T22(2)2018·全国卷Ⅰ，T19(1)2018·全国卷Ⅲ，T102017·全国卷Ⅰ，T20(2)1.直观想象2.数学运算1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行．①对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．②当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直．①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则①A1B2－A2B1≠0⇔l1与l2相交．②A1B2－A2B1＝0⇔l1与l2平行或重合．③A1A2＋B1B2＝0⇔l1与l2垂直．2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．三种常见的直线系方程．(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．3．在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()解析：(1)直线l1，l2可能重合．(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为()A．3x＋4y－5＝0B．3x＋4y＋5＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x－4y－5＝0解析：设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标为(x，－y)且对称点在已知的直线上，所以所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.故选B.答案：B3．(人A必修2·习题改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．解析：由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案：1[典题体验]4．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或m＝－3.答案：C5．(2020·韶关模拟)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________．解析：由题意可知圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l2的斜率k＝－12，所以直线l2的方程为y－2＝－12(x＋1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝06．(2020·青岛二中月考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1，3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________________________．解析：过直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得|k－3|1＋k2＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得|4－a|2＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0考点1两条直线的平行与垂直(讲练互动)[典例](一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值．解：(1)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1∥l2可得－a2＝11－a，－3≠－（a＋1），解得a＝－1.综上可知，a＝－1.法二由l1∥l2知A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即a（a－1）－1×2＝0，a（a2－1）－1×6≠0，⇒a2－a－2＝0，a（a2－1）≠6，⇒a＝－1.(2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1⊥l2，得－a2·11－a＝－1⇒a＝23.法二因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝23.1．由一般式判定两条直线平行、垂直的依据．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．1．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10B．－2C．0D．8解析：因为l1∥l2，所以4－mm＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2.所以m＋n＝－10.答案：A2．已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．解析：l1的斜率k1＝3a－01－（－2）＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－（－1）a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.答案：1或0考点2两条直线的交点与距离问题(自主演练)1．(一题多解)已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1，1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．解析：法一设P(a，b)，则2a－3b＋6＝0，a2＋b2＝（a＋1）2＋（b－1）2，解得a＝3，b＝4.所以P点的坐标为(3，4)．法二线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，则2x－3y＋6＝0，x－y＋1＝0.解得x＝3，y＝4，则P点的坐标为(3，4)．答案：(3，4)2．(一题多解)(2020·广东十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________________．解析：法一由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0，解得x＝－53，y＝79，即交点为－53，79.因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝43.由点斜式得所求直线方程为y－79＝43x＋53，即4x－3y＋9＝0.法二由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0.可解得交点为－53，79，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.法三由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.答案：4x－3y＋9＝03．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．解析：由方程组y＝kx＋2k＋1，y＝－12x＋2，解得x＝2－4k2k＋1，y＝6k＋12k＋1.(若2k＋1＝0，即k＝－12，则两直线平行)所以交点坐标为2－4k2k＋1，6k＋12k＋1.又因为交点位于第一象限，所以2－4k2k＋10，6k＋12k＋10，解得－16k12.答案：－16，121．求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．考点3对称问题(多维探究)角度点关于点对称[典例1]过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，将其代入l2的方程，得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，则A(4，0)，又P(0，1)，所以由两点式可得直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度点关于线对称[典例2]如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．33B．6C．210D．25解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：C角度直线关于直线的对称问题[典例3]直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____