2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相①__________共面向量平行于②__________的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使③__________平行或重合同一平面a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝④__________空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝⑤__________推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→且x＋y＋z＝1xa＋ybxa＋yb＋zc2.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(ⅱ)a⊥b＝⑥__________(a，b为非零向量)．(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.a·b＝0(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝⑦____________________向量差a－b＝⑧___________________数量积a·b＝⑨___________________共线a∥b⇒⑩_____________________(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔⑪___________________夹角公式cos〈a，b〉＝⑫___________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b233.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l⑬_____或⑭_____，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的⑮_____向量a，则向量a叫做平面α的法向量．平行重合方向二、必明4个易误点1．共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．4．利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤不规范的失误．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.()(3)若a·b0，则〈a，b〉是钝角．()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．()√×××√(6)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.()(7)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1⊥n2⇔α⊥β.()√√2．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案：A3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c解析：BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案：A4．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是()A.3210，225，－22和－3210，－225，22B.3210，225，－22C.－3210，－225，22D.3210，225，22或－3210，－225，－22解析：因为与向量a共线的单位向量是±a|a|，又因为向量(－3，－4,5)的模为－32＋－42＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±152(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，故选A.答案：A5．[教材改编]若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以－36＝y－2＝2z，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－3考点一空间向量的线性运算[自主练透型]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________；(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________.解析：(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－AO→＝A1O→＋OA→＝A1A→.(2)OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)．∴OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.答案：(1)A1A→(2)12AB→＋12AD→＋AA1→悟·技法空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.考点二共线、共面向量定理的应用[自主练透型]1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，求m＋n的值．解析：AB→＝(3，－1,1)，AC→＝(m＋1，n－2，－2)．∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AC→＝λAB→.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，∴m＋1＝3λn－2＝－λ，－2＝λ解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.∴m＋n＝－3.2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解析：(1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面．从而点M在平面ABC内.悟·技法应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→考点三空间向量的数量积与坐标运算[自主练透型]1．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：如图，令AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案：B2．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设向量a＝AB→，b＝AC→，(1)若|c|＝3，且c∥BC→，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解析：(1)∵c∥BC→，BC→＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝mBC→＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．于是|c|＝－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3，即m＝±1.故c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(3)解法一∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.解之，可得k＝2或k＝－52.故当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.解法二∵由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，从而可解得k＝2或k＝－52.悟·技法1.空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.2．数量积的应用(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.考点四利用空间向量证明平行或垂直[互动讲练型][例]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E11，12，2.(1)设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)．因为C1E1→＝1，－12，0，FC1→＝(－1,0,1)，所以n·C1E1→＝0，n·FC1→＝0，即x－12y＝0，－x＋z＝0，令x＝1，得n＝(1,2,1)．因为CE→＝(1，－1,1)，n·CE→＝1－2＋1＝0，所以CE→⊥n.又因为CE⊄平面C1E1F，所以CE∥平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，由EF→＝(0,1,0)，FC→＝(－1,0，－1)，所以m·EF→＝0，m·FC→＝0，即b＝0，－a－c＝0.令a＝－1，得m＝(－1,0,1)．因为m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.悟·技法1.用空间向量证平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明