搜索
【知识重温】一、必记6个知识点1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的①_____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂α②________l⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行③____________⇒a∥ba∩b＝Oa⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④_____叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(2)范围：0，π2.锐角3．平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的⑤____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑥__________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．4．平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是⑦__________，就说这两个平面互相垂直．两个半平面垂直于棱直二面角5．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⑧__________⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂β⑨________l⊥a⇒l⊥αl⊥αl⊂βα∩β＝a6.垂直关系中的两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．二、必明3个易误点1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.()(2)直线l不可能和两个相交平面都垂直．()(3)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()×√××2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．答案：B3．[2020·湖北宜昌联考]在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的命题是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正确；若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B.答案：B4．[2020·郑州一中测试]已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则α⊥β；④若α⊥β，则m∥n.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β＝n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β＝n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选C.答案：C5．[2020·海南中学模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)．解析：在条件①或条件③中，α还可能与β相交；由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．综上，能推出α∥β的条件是②④.答案：②④考点一直线与平面垂直的判定与性质[互动讲练型][例1][2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．解析：(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.悟·技法判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·成都诊断性检测]如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，AB＝BC＝2.(1)若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；(2)求六面体ABCEF的体积．解析：(1)如图，连接MD，FD.∵四边形BDEF为菱形，且∠FBD＝60°，∴△DBF为等边三角形．∵M是BF的中点，∴DM⊥BF.∵AB⊥BC，AB＝BC＝2，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵平面BDEF∩平面ABC＝BD，平面BDEF⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BDEF.又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF.又DM⊥BF，AC⊥BF，DM∩AC＝D，∴BF⊥平面AMC.(2)S菱形BDEF＝2×12×BD×BF×sin60°＝2×12×1×1×32＝32.由(1)知AC⊥平面BDEF，∴V四棱锥C－BDEF＝13S菱形BDEF·CD＝13×32×1＝36.∴V六面体ABCEF＝2V四棱锥C－BDEF＝33.考点二证明平面与平面垂直[互动讲练型][例2][2020·河南开封模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.解析：(1)取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊12AB.又CD綊12AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.悟·技法面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．[提醒]两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”.[变式练]——(着眼于举一反三)2.[2018·江苏卷，15]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC，又因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.考点三平面图形翻折成空间图形[互动讲练型][例3][2019·全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．解析：(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE.故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.悟·技法对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2020·“超级全能生”联考]如图，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB.(1)求证：BC⊥AD；(2)求点E到平面BCD的距离．解析：(1)作CH⊥AB于点H，如图，则BH＝12，AH＝32.∵BC＝1，∴CH＝32，∴CA＝3，易得AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC.又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD.(2)∵E为AB的中点，∴点E到平面BCD的距离等于点A到平面BCD距离的一半．由(1)可得平面ADC⊥平面BCD，∴过点A作AQ⊥CD于Q，如图．∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ⊂平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是点A到平面BCD的距离．由(1)知AC＝3，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝12＋12－322×1×1＝－12.又0∠ADCπ，∴∠ADC＝2π3，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝π3，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×32＝32.∴点E到平面BCD的距离为34.微专题(十五)立体几何证明问题中的转化思想[例]如图所示，M，N，K分别是正方