2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面平行的判定和性质课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为①________________所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为②________________________，所以l∥bl∥a，a⊂α，l⊄α，l∥α，l⊂β，α∩β＝b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为③___________________________________所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为④________________________________，所以a∥ba∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b3.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.二、必明3个易误点1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(4)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(5)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，则直线a∥平面β.()×√×××2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.答案：D3．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.答案：D4．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①α∥cβ∥c⇒α∥β②α∥γβ∥γ⇒α∥β③α∥ca∥c⇒a∥α④a∥γα∥γ⇒a∥α其中正确的命题是()A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．答案：C5．如右图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：在平面ABD中，AMMB＝ANND，∴MN∥BD.又MN⊄平面BDC，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案：平行考点一直线与平面平行的判定和性质[互动讲练型][例1][2019·全国卷Ⅰ]如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．解析：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.悟·技法1.判定线面平行的4种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒α∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．解决直线与平面平行的3个思维趋向(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·江西南昌模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝23，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心，AC与BD交于点F.(1)求证：GF∥平面PDC；(2)求三棱锥G－PCD的体积．解析：(1)连接AG并延长，交PD于点H，连接CH.在梯形ABCD中，∵AB∥CD且AB＝2DC，∴AFFC＝21.又E为AD的中点，G为△PAD的重心，∴AGGH＝21.在△AHC中，AGGH＝AFFC＝21，故GF∥HC.∵HC⊂平面PCD，GF⊄平面PCD，∴GF∥平面PDC.(2)连接BE，由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PE⊥AD，BE⊥AD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3.由(1)知GF∥平面PDC，连接FP，V三棱锥G－PCD＝V三棱锥F－PCD＝V三棱锥P－CDF＝13×PE×S△CDF.∵△ABD为正三角形，∴BD＝AB＝23，则DF＝13BD＝233.又∠CDF＝∠ABD＝60°，∴S△CDF＝12×CD×DF×sin∠FDC＝32，则V三棱锥P－CDF＝13×PE×S△CDF＝32，∴三棱锥G－PCD的体积为32.考点二平面与平面平行的判定和性质[互动讲练型][例2][2020·广东肇庆实验中学月考]如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体．(1)求B1C1D1－ABCD的体积；(2)求证：平面AB1D1∥平面C1BD.证明：(1)设正方体的体积为V1，则由题图可知B1C1D1－ABCD的体积V＝V1－VA－A1B1D1＝2×2×2－13×12×2×2×2＝8－43＝203.(2)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1，又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴四边形D1C1BA为平行四边形，∴D1A∥C1B，又D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD.同理，D1B1∥平面C1BD，又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD.悟·技法判定平面与平面平行的5种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.[变式练]——(着眼于举一反三)2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.考点三立体几何中的探索性问题[互动讲练型][例3][2020·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE＝12CD＝2，M是线段AE上的动点．(1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面MDF将几何体ADE－BCF分成上、下两部分的体积之比．解析：(1)当M为线段AE的中点时，AC∥平面MDF.证明如下：如图，连接CE，交DF于N，连接MN，因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC.因为MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B1CF，则三棱柱ADE－B1CF的体积V＝S△ADE·CD＝12×2×2×4＝8，VADE－BCF＝VADE－B1CF－VF－BB1C＝8－13×12×2×2×2＝203.三棱锥F－DEM的体积VF－DEM＝13×12×2×2×4＝43，故上、下两部分的体积之比为43:203－43＝1:4.悟·技法1.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．2．这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.[变式练]——(着眼于举一反三)3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解析：解法一假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.解法二存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1.∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.