2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件

【知识重温】一、必记6个知识点1．平面的基本性质表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α公理2①________________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有②______过该点的公共直线P∈αP∈β⇒α∩β＝l，且P∈l过不在一条直线上一条2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线⑥_____．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角⑦__________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的⑧_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：⑨________.平行相等或互补锐角(或直角)0，π23．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交⑩__________1个平行⑪__________0个直线与平面在平面内⑫__________无数个平行⑬__________0个平面与平面相交⑭__________无数个a∩α＝Aa∥αa⊂αα∥βα∩β＝l4.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．6．确定平面的三个推论(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．(2)两条相交直线确定一个平面．(3)两条平行直线确定一个平面．二、必明2个易误点1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()√×××√2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．答案：A3．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．答案：D4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．答案：B5．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或4考点一平面的基本性质[互动讲练型][例1]如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC＝DH:HC＝1:2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.悟·技法1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.[变式练]——(着眼于举一反三)1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴FE∥A1B且EF＝12A1B.∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．考点二异面直线的判定[自主练透型]1．[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.答案：B2．[2020·江西景德镇模拟]将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直解析：在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.答案：C3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④悟·技法异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.考点三异面直线所成的角[互动讲练型][例2](1)[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22解析：(1)解法一如图(1)，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝12＋1＋12＝5，B′B1＝12＋32＝2，DB1＝12＋12＋32＝5.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B21＋DB21－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝55.故选C.解法二如图(2)，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，∴AD1→＝(－1,0，3)，DB1→＝(1,1，3)，∴AD1→·DB1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2，|AD1→|＝2，|DB1→|＝5，∴cos〈AD1→，DB1→〉＝AD1→·DB1→|AD1→|·|DB1→|＝225＝55.故选C.(2)[2018·全国卷Ⅱ]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72解析：(2)如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.故选C.答案：(2)C悟·技法求异面直线所成的角的三步曲[提醒]在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33解析：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝3.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cosθ＝AB21＋AD21－B1D212×AB1×AD1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.答案：C3．[2020·湖南五市十校联考]已知E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝6，EF＝33，则异面直线AB与PC所成的角为()A．120°B．45°C．30°D．60°解析：设AC的中点为G，连接GF，EG，∵E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝6，AB＝6，∴EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3.在△EFG中，EF＝33，∴cos∠EGF＝9＋9－272×3×3＝－12，∴∠EGF＝120°，∴异面直线AB与PC所成的角为60°.答