2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.2 空间几何体的表面积和体积课件 理

【知识重温】一、必记4个知识点1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝①____V＝②__＝③____圆锥S侧＝④____V＝⑤____＝⑥____＝13πr2l2－r2圆台S侧＝⑦________V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h2πrhShπr2hπrl13Sh13πr2hπ(r1＋r2)l直棱柱S侧＝⑧____V＝⑨____正棱锥S侧＝⑩____V＝⑪____正棱台S侧＝⑫____________V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝⑬____V＝⑭____ChSh12Ch′13Sh12(C＋C′)h′4πR243πR32.长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点．(2)半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．4．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)．(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．二、必明3个易误点1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)球的体积之比等于半径之比的平方．()××√×2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π解析：由题意可知该几何体是底面半径r＝1，母线l＝1的圆柱，故S侧＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故选C.答案：C3．[2020·唐山五校联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．3B.113C．7D.233解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V＝4－13＝113.选择B.答案：B4．[2020·福州四校联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.272B．27C．272D．273解析：在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C－BAP，其中底面BAP是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝33，所以BP＝6，又棱CB⊥平面BAP且CB＝33，所以AC＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.答案：D5．[2020·陕西宝鸡质检]已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O－ABC的体积为43，则球O的表面积为________．解析：设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥O－ABC的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，△ABC是边长为2R的等边三角形，因此根据三棱锥的体积公式，得13×12R2×R＝43，∴R＝2，∴S球＝4π×22＝16π.答案：16π考点一空间几何体的侧面积与表面积1．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r.在△SAB中，cos∠ASB＝78，∴sin∠ASB＝158，∴S△SAB＝12SA·SB·sin∠ASB＝12(2r)2·158＝515，解得r＝210，∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45，∴S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.答案：402π2．[2020·安徽合肥调研]已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为()A．48＋8πB．48＋4πC．64＋8πD．64＋4π解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个直四棱柱的组合体，根据图中数据可知，表面积为4×4×2－π×22＋4×2×4＋12×4π×22＝64＋4π，故选D项．答案：D3．[2020·福建五校第二次联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A.39π4＋33B.45π4＋33C.23π2D.49π4解析：由三视图可知，该几何体为圆锥挖掉四分之一个圆台后剩余的部分，示意图如图所示．四分之三的大圆锥的侧面积S1＝3π4×2×232＋22＝6π，四分之一的小圆锥的侧面积S2＝π4×1×32＋12＝π2，两个直角梯形的面积S3＝2×12×(1＋2)×3＝33，四分之三的大圆锥的底面面积S4＝34π×22＝3π，四分之一的小圆锥的底面面积S5＝14π×12＝π4，所以该几何体的表面积为6π＋π2＋33＋3π＋π4＝39π4＋33.故选A项．答案：A悟·技法几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点二空间几何体的体积[自主练透型]1．[2020·安徽安师大附中摸底]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积V＝12×4×3×5－13×12×4×3×(5－2)＝24，故选C项．答案：C2．[2019·全国卷Ⅲ]学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O－EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.83．[2018·天津卷，11]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．解析：本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积．由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥M－EFGH的体积V＝13×12×12＝112.答案：112悟·技法空间几何体体积的求法(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点三空间几何体的外接球与内切球[互动讲练型][例1](1)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD.6π解析：(1)因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π623＝6π，故选D.答案：(1)D(2)[2018·全国卷Ⅲ]设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：(2)由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×93×6＝183.故选B.答案：(2)B悟·技法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·河南洛阳尖子生联考]四棱锥S－ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O的体积等于()A.32π3B.322π3C．16πD.162π3解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥．如图，连接AC，则球心O为AC的中点，连接SO，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，∴AB＝BC＝2R.取AB的中点E，连接OE，SE，则OE＝12BC＝22R，SE＝SO2＋OE2＝62R.∵该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，∴(2R)2＋4×12×2R×62R＝8＋83，得R＝2，∴球O的体积为43πR3＝32π3.故选A项．答案：A2．[2020·河北九校联考]已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为()A．63B．12C．123D．18解析：设球O的半径为R，则由4πR2＝20π，得R2＝5.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在Rt△AOO1中，OO21＋AO21＝AO2＝R2，即（h2）2＋(3a3)2＝R2＝5①，又AO1＝BO2，所以AO21＝BO22，即(3a3)2＝（h2）2＋(a2)2②，由①